(20 minutes de préparation) Un réservoir de forme sphérique, de rayon R = 40 cm, est initialement rempli à moitié d'eau de masse volumique ρ = 10 3 kg. m – 3. La pression atmosphérique P 0 règne au-dessus de la surface libre de l'eau grâce à une ouverture pratiquée au sommet S du réservoir. On ouvre à t = 0 un orifice A circulaire de faible section s = 1 cm 2 au fond du réservoir. Vidanges de réservoirs Question Établir l'équation différentielle en z s (t), si z s (t) est la hauteur d'eau dans le réservoir comptée à partir de A, à l'instant t. Solution En négligeant la vitesse de la surface libre de l'eau, le théorème de Bernoulli entre la surface et la sortie A donne:
D'où:
On retrouve la formule de Torricelli. L'eau étant incompressible, le débit volumique se conserve:
Or:
Soit, après avoir séparé les variables:
Vidanges de réservoirs Question Exprimer littéralement, puis calculer, la durée T S de vidange de ce réservoir. Solution La durée de vidange T S est:
Soit:
L'application numérique donne 11 minutes et 10 secondes.
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On considère une conduite horizontale, de section constante, de longueur l, alimentée par un réservoir de grandes dimensions où le niveau est maintenu constant. A l'extrémité de la conduite, une vanne permet de réguler le débit. A l'instant t = 0, la vanne est fermée et on l'ouvre brutalement. Question Etablir la relation entre le temps d'établissement de l'écoulement et la vitesse maximale du fluide. Indice 1 - Utilisez la relation de Bernoulli en mouvement non permanent entre un point de la surface libre et un point à la sortie du tuyau. 2 -
ne dépend que du temps, on a donc la formule suivante:
Solution Etablir la relation entre le temps d'établissement de l'écoulement et la vitesse maximale du fluide. En un point à la distance x de O la relation de Bernouilli en régime non permanent s'écrit: La section du tuyau est constante donc V et
ont la même valeur le long du tuyau. En, la relation précédente s'écrit donc: Comme V ne dépend que du temps, on peut écrire. L'équation devient donc: En intégrant, on obtient: L'intégration précédente fait apparaître une constante, mais celle-ci est nulle car la vitesse est nulle à t=0.
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Exercices de Cinématique des fluides
1) On demande de caractériser les écoulements bidimensionnels,
permanents, ci-après définis par leur champ de vitesses. a). b)
c)
d)
| Réponse
1a | Rponse
1b | Rponse
1c | Rponse
1d |
2) On étudie la possibilité découlements bidimensionnels,
isovolumes et irrotationnels. On utilise, pour le repérage des particules du fluide, les coordonnées
polaires habituelles (). 2)a) Montrer quil existe, pour cet écoulement, une fonction
potentiel des vitesses,
solution de léquation aux dérivées partielles de Laplace. On étudie la possibilité de solutions élémentaires
où le potentiel
ne dépend soit que de,
soit que de. 2)b)
Calculer le champ des vitesses. Après avoir précisé la
situation concrète à laquelle cette solution sapplique, calculer
le débit de lécoulement. 2)c)
Calculer
le champ des vitesses. Préciser la situation concrète à
laquelle cette solution sapplique. 2a | Rponse
2b | Rponse
2c |
3) On considère un fluide parfait parfait (viscosité
nulle), incompressible (air à des faibles vitesses découlement)
de masse volumique m entourant un obstacle
cylindrique de rayon R et daxe Oz.
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On en déduit également: \(a = \sqrt {\frac{{s\sqrt {2g}}}{{\pi k}}} = 0, 375\) Finalement, l'équation de la méridienne est: \(r=0, 375z^{1/4}\)
Lécoulement est à deux dimensions (vitesses
parallèles au plan xOy et indépendantes de z)
et stationnaire. Un point M du plan xOy est repéré
par ses coordonnées polaires. Lobstacle, dans son voisinage, déforme les lignes de courant;
loin de lobstacle, le fluide est animé dune vitesse uniforme. Lécoulement est supposé irrotationnel. 3)1) Déduire que
et que. 3)2) Ecrire les conditions aux limites satisfait par
le champ de vitesses
au voisinage de lobstacle (),
à linfini (). 3)3) Montrer quune solution type
est solution de. En déduire léquation différentielle vérifiée
par. Intégrer
cette équation différentielle en cherchant des solutions sous
la forme. Calculer les deux constantes dintégration et exprimer les composantes
du champ de vitesses. 3)4) Reprendre cet exercice en remplaçant le
cylindre par une sphère de rayon R.
On remarquera que le problème a une symétrie autour de laxe des
x. On rappelle quen coordonnées sphériques, compte tenu
de la symétrie de révolution autour de l'axe des x,
31 | Rponse
32 | Rponse
33 | Rponse
34 |
Il existe une ligne de courant ente le point A situé à la surface libre et le point M dans la section de sortie, on peut donc appliquer la relation de Bernouilli entre ces deux points: En considérant les conditions d'écoulement, on a:. En outre, comme la section du réservoir est grande par rapport à celle de l'orifice, la vitesse en A est négligeable par rapport à celle de M: V_A = 0 (il suffit d'appliquer la conservation du débit pour s'en rendre compte). En intégrant ces données dans l'équation, on obtient: D'où
Vous che...
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