Corrigé
Commençons par tracer une représentation graphique pour se fixer les idées. Premier réflexe, considérer ce carré quadrillé comme un repère orthonormé d'origine \(A. \) Ainsi, nous avons \(M(2\, ;4), \) \(P(4\, ;3), \) etc. Il faut bien sûr trouver les coordonnées de \(I. \) C'est l'intersection de deux droites représentatives d'une fonction linéaire d'équation \(y = 2x\) et d'une fonction affine d'équation \(y = 0, 25x + 2. \) Ce type d'exercice est fréquemment réalisé en classe de seconde. Posons le système:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 2x}\\
{y = 0, 25x + 2}
\end{array}} \right. \)
On trouve \(I\left( {\frac{8}{7};\frac{{16}}{7}} \right)\)
Passons aux vecteurs. Leur détermination relève là aussi du programme de seconde (voir page vecteurs et coordonnées). On obtient:
\(\overrightarrow {BI} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{8}{7}}\\
{ - \frac{{12}}{7}}
\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {CI} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \frac{{20}}{7}}\\
\end{array}} \right)\)
Le repère étant orthonormé, nous utilisons, comme dans l'exercice précédent, la formule \(xx' + yy'.
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Deux Vecteurs Orthogonaux Est
Ces parallélismes se retrouvent à la source, par la bijection linéaire entre les plans $(\vec{I}, \vec{J})$ et $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$. Aussi, les antécédents $\vec{U}^*$ et $\vec{V}^*$ de $\vec{u}^*$ et $\vec{v}^*$ et les directions des tangentes sur lesquelles ils s'adossent jouissent des mêmes propriétés. Un rayon étant normal à son cercle, nécessairement $\vec{U}^*$ et $\vec{V}^*$ sont orthogonaux (et même normés) dans le plan $(\vec{I}, \vec{J})$. Par ricochet, $\vec{u}^*$ et $\vec{v}^*$ sont orthogonaux (et même normés) dans le plan $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ muni du produit scalaire « tordu » $\langle\cdot\lvert\cdot\rangle$. Orthogonalisation simultanée de deux formes quadratiques: la preuve en image. Concluons en indiquant que les raisonnements tenus ici sur des perspectives cavalières s'étendent à n'importe quelle projection cylindrique 6, donnant alors naissance, sur $\mathbb{R}^2$, aux formes quadratiques plus générales $$ q(x, y)= (\alpha x + \beta y)^2 + (\gamma x + \delta y)^2.
Quand deux signaux sont-ils orthogonaux? La définition classique de l'orthogonalité en algèbre linéaire est que deux vecteurs sont orthogonaux, si leur produit intérieur est nul. J'ai pensé que cette définition pourrait également s'appliquer aux signaux, mais j'ai ensuite pensé à l'exemple suivant:
Considérons un signal sous la forme d'une onde sinusoïdale et un autre signal sous la forme d'une onde cosinusoïdale. Si je les échantillonne tous les deux, j'obtiens deux vecteurs. Alors que le sinus et le cosinus sont des fonctions orthogonales, le produit des vecteurs échantillonnés n'est presque jamais nul, pas plus que leur fonction de corrélation croisée à t = 0 ne disparaît. Alors, comment l'orthogonalité est-elle définie dans ce cas? Ou mon exemple est-il faux? Réponses:
Comme vous le savez peut-être, l'orthogonalité dépend du produit intérieur de votre espace vectoriel. Dans votre question, vous déclarez que:
Alors que le sinus et le cosinus sont des fonctions orthogonales... Cela signifie que vous avez probablement entendu parler du produit interne "standard" pour les espaces fonctionnels:
⟨ f, g ⟩ = ∫ x 1 x 2 f ( x) g ( x) d x
Si vous résolvez cette intégrale pour f ( x) = cos ( x) et g ( x) = sin ( x) pour une seule période, le résultat sera 0: ils sont orthogonaux.
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