Détermination de la stabilité à partir de la fonction de transfert d'un système
continu: le critère algébrique de Routh
Critère de Routh
Soit la fonction de transfert sous sa forme polynomiale:
Soit le polynôme caractéristique:
On construit le tableau suivant:
avec:
Enoncé du critère de Routh:
Le nombre de pôles à partie réelle positive est donné par
le nombre de changements de signe des termes de la première colonne. Dans le cas où le tableau de Routh possède un élément nul
dans la première colonne alors:
si la ligne correspondante contient un ou plusieurs éléments non-nuls,
A(p) possède au moins une racine à partie réelle strictement positive. si tous les éléments de la ligne sont nuls alors:
A(p) a au moins une paire de racines imaginaires pures,
ou A(p) possède une paire de racines réelles de signes opposés,
ou A(p) possède quatre racines complexes conjuguées deux à deux
et de parties réelles de signes opposés deux à deux. Remarque:
Une condition nécessaire mais non suffisante est que tous les coefficients du
polynôme caractéristique soient positifs.
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Tableau De Routine Montessori
Les coefficients de la ligne contenant zéro deviennent maintenant "8" et "24". Le processus du tableau de Routh se déroule en utilisant ces valeurs qui donnent deux points sur l'axe imaginaire. Ces deux points sur l'axe imaginaire sont la cause première de la stabilité marginale. Voir également
Les références
Felix Gantmacher (traducteur JL Brenner) (1959) Applications de la théorie des matrices, pp 177–80, New York: Interscience. Pippard, AB; Dicke, RH (1986). "Réponse et stabilité, une introduction à la théorie physique". Journal américain de physique. 54 (11): 1052. Bibcode: 1986AmJPh.. 54. 1052P. doi: 10. 1119 / 1. 14826. Archivé de l'original le 14/05/2016. Récupéré le 07/05/2008. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop (2001). Modern Control Systems (9e éd. ). Prentice Hall. ISBN 0-13-030660-6. Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Théorie analytique des polynômes. Monographies de la London Mathematical Society. Nouvelle série. 26. Oxford: Presse d'université d'Oxford. ISBN 0-19-853493-0.
Tableau De Routage
Exemple: Soit le polynôme caractéristique A(p)= p 3 -2p 2 -13p-10
p 3
1
-13
p 2
-2
-10
p
-18
0
p 0
Un changement de signe, donc un pôle instable. En effet, A(p) a pour racines -1,
-2, 5. Exemple: Soit le polynôme caractéristique A(p)=p 4 + p 3 +5p 2 +4p+4
p 4
5
4
e
Deux racines imaginaires pures (+2j, -2j); les autres sont. Exemple: Soit la fonction de transfert en boucle ouverte H(p)=K(p-1)/p(1+Tp) avec T>0. Le dénominateur
en boucle fermée est: Tp 2 +(1+K)p-K
T
-K
1 + K
Ce système est instable pour tous les gains positifs. [ Table des matires]
L'importance du critère est que les racines p de l'équation caractéristique d'un système linéaire à parties réelles négatives représentent des solutions e pt du système qui sont stables ( bornées). Ainsi, le critère permet de déterminer si les équations de mouvement d'un système linéaire n'ont que des solutions stables, sans résoudre directement le système. Pour les systèmes discrets, le test de stabilité correspondant peut être géré par le critère de Schur – Cohn, le test Jury et le test Bistritz. Avec l'avènement des ordinateurs, le critère est devenu moins largement utilisé, car une alternative est de résoudre le polynôme numériquement, en obtenant directement des approximations aux racines. Le test de Routh peut être dérivé en utilisant l' algorithme euclidien et le théorème de Sturm dans l'évaluation des indices de Cauchy. Hurwitz a dérivé ses conditions différemment. Utilisation de l'algorithme d'Euclid
Le critère est lié au théorème de Routh – Hurwitz. D'après l'énoncé de ce théorème, nous avons où:
est le nombre de racines du polynôme à partie réelle négative;
est le nombre de racines du polynôme à partie réelle positive (selon le théorème, est supposé n'avoir aucune racine située sur la ligne imaginaire);
w ( x) est le nombre de variations de la chaîne de Sturm généralisée obtenue à partir de et (par divisions euclidiennes successives) où pour un réel y.
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