45)
où Xk= [( ˙xi)e xi]i=m+1,..., kest la matrice de régression et Yk= [ui− (¨xi)e]i=m+1,..., kreprésente
le vecteur des signaux observés. Par ailleurs [ ˙xi]eet [¨xi]edésignent respectivement une estimation
de vitesse et d'accélération à chaque instant ti= iTe. Nous supposons que ρkest une suite de
variables gaussiennes indépendantes de moyenne nulle et de variance connue σ% 2due à la fois
aux bruits de mesure $ et aux erreurs d'estimation de la dérivée. L'entier m est égal à la valeur
minimale nécessaire pour calculer [ ˙xi]eet [¨xi]e. Habituellement, l'estimation des dérivées est
calculé grâce à un filtre de differentiation fini. La problématique revient à estimer Θ en se basant
sur les mesures et les observations. Système masse ressort amortisseur 2 ddl de. Nous considérons la situation lorsque les observations sont
obtenues au fur et à mesure. Dans ce qui suit, une estimation récursive est développée. Au
lieu de recalculer les estimations avec toutes les données disponibles, les paramètres issus de
l'estimation précédente sont mis à jour avec le nouvel échantillon.
Système Masse Ressort Amortisseur 2 Ddl De
'AB', DX = 0. ) Noms des nœuds:
A = N1
B = N10
P 1= N2
P 2= N3.............
P 8= N9
3. 2
Caractéristiques du maillage
Nombre de noeuds: 10
Nombre de mailles et types: 9 SEG2
3. 3
Grandeurs testées et résultats
Identification
Référence Tolérance
POUX
Fréquences propres
Grandeur localisation
ACCE_ABSOLU
P4
DX
Référence
Tolérance
Non régression
5. 53
10. 89
15. 92
20. 46
24. 38
27. 57
29. 91
31. 35
0. 001
5. 525
10. 887
15. 924
20. 461
24. 390
27. 566
29. 911
31. 347
1. 0
10. 45
19. 03
25. 32
28. 95
0. 15
1. 136
10. 450
19. 030
25. 318
28. 946
3. 4
Date: 03/08/2011 Page: 5/6
Remarques
Mode
Amortissement (en%)
Spectre
0. 868
23. 19
1. 710
19. 54
2. 500
9. 033
3. 213
3. 928
3. Masse-ressort-amortisseur - Régime forcé. 830
2. 282
4. 331
1. 601
4. 698
1. 283
4. 924
Date: 03/08/2011 Page: 6/6
Synthèse des résultats
Les résultats Aster sont identiques aux résultats POUX jusqu'à la deuxième décimale. L'écart sur l'accélération
absolue au point A est due à l'hypothèse de calcul du pseudo-mode différente entre POUX et Code_Aster. Copyright 2015 EDF R&D - Document diffusé sous licence GNU FDL ()
Système Masse Ressort Amortisseur 2 Ddl 1
46), afin d'estimer Θk+1
à partir des mesures Yk+1, la régression Xk+1et Θk. En fait, ρkreprésente un vecteur de bruit
blanc de moyenne nulle. Il est défini par la fonction d'auto-corrélation:
E[ρ(t)ρ∗(t − τ)] =
σ2 ρ, τ = 0,
Concernant la matrice Pk, elle représente la matrice des variances covariances de l'erreur
d'estimation:
Pk= cov[ek] = E[( ˆΘk− Θ)T( ˆΘk− Θ)]. Les développements qui suivent, sont basés sur l'algorithme de Kalman-Bucy avec un écart fixe,
par exemple, pour tout k ≥ m, rk−m= σ2%. De ce fait, en appliquant la propriété de linéarité de
la variance, on obtient l'expression suivante à partir de (2. 49):
V ar( ˆΘk) =
σ ρ 2
k
P
i=m+1
λ2α(i)X i 2
k
λα(i) X 2
i
2. 54)
La relation (2. Système masse ressort amortisseur 2 ddl 1. 54) peut être exprimée en utilisant la solution explicite (2. 51), comme suit:
A2 1 K(Z, λ, ω0, Te, m, k), (2. 55)
où
K(Z, λ, ω0, Te, m, k) =
(ω 0 2(Z2− 1))2 Pk
λ2α(i)(Z sin(ω0ti) − w0sin(Zω0ti))2
λα(i) (Z sin(ω
0ti) − ω0sin(Zω0ti))2
2. 56)
La minimisation de la variance de l'estimateur récursif asymptotique peut être obtenue en
augmentant l'amplitude A1 de la force en entrée.
Système Masse Ressort Amortisseur 2 Ddl Or Dml
(2. 47)
4. 3 Estimation par le filtre de Kalman-Bucy 63
Notons:
α(i) = k − max{i − m, k}pour i ∈ {m + 1,..., k}. (2. 48)
Après k ≥ m échantillons empilés, en appliquant les récurrences (2. 46) initialisées par (2. 47), on
peut obtenir l'estimation suivante:
Θk=
Pk
i=m+1λα(i)XiYi
i=m+1λα(i)Xi2, (2. 49)
avec Kk =
Xk
i=m+1λα(i)Xi2
et Pk =
σ% 2
i=m+1λα(i)Xi2. 50)
4. 1 Analyse de la variance
Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à l'analyse de la variance de l'estimateur donné
par la relation (2. 49), dans le but de trouver la trajectoire de référence u(t), à savoir les valeurs
de (A1)optet (ω1)opt, qui permettent de minimiser la variance de (2. 49). Dans ce cas, la valeur
de (ω1)optest étudiée en fonction de la pulsation optimale Zopt =
(ω1)opt
ω0. L'expérience montre
que pour des systèmes industriels, les structures sont très faiblement amorties. Système masse ressort 2 ddl exercice corrigé. Ainsi, en vue de
simplifier l'étude de variance, le paramètre θ1 = 2ζω0est supposé nul. Cette hypothèse permettra
de simplifier l'étude de la variance du filtre de Kalman-Bucy.
Le filtre de Kalman-Bucy est
écrit sous la forme d'un algorithme récursif. Il est est donné par la structure suivante:
Kk+1 = PkXk+1T Rk+1+ Xk+1PkXk+1T
−1,
αk+1 = Yk+1− Xk+1Θˆk,
ˆ
Θk+1 = Θˆk+ Kk+1αk+1,
Pk+1 = λ−1[Pk− Kk+1Xk+1Pk],
(2. 46)
où ˆΘkest le vecteur d'estimation des paramètres inconnus après les premiers k échantillons
et λ ∈]0, 1] représente le facteur d'oubli qui réduit l'influence des anciennes données dans le
processus de prédiction. En particulier, si λ = 1 alors toutes les données sont prises en compte
de la même manière. Dans cet algorithme (2. 46), on constate que le vecteur Θket la matrice Pk
sont impliqués dans la récurrence. Pour initialiser la récurrence nous devons fournir les valeurs
initiales de ces variables. Nous avons choisi alors d'appliquer une solution aux moindres carrées
ordinaire (2. Système masse ressort amortisseur 2 ddl or dml. 11) de ce problème d'initialisation à l'aide d'échantillons issus des m premières
mesures. On calcul alors:
Θm = PmBm, where
(
Pm= (XmTR−1m Xm)−1,
Bm = XmTR
−1
m Ym.
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Qui soit vivante dessoubz les cieux
En contre tous faulx envieux
Je la soutienday estre telle
Si Cupido doux et rebelle
N'avait un bandeau sur les yeux
Et voyait son air gracieux
Je crois qu'amoureux serait d'elle
Vénus, la déesse immortelle
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D'une aussi gente pastourelle. Je suis aymé de la plus belle,
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