Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit:
Avant je prenais n'importe quelle valeur de x sur l'intervalle bleu,
et je trouvais f(x) sa valeur par la fonction, sur l'intervalle orange. Maintenant, je prends n'importe quelle valeur sur l'intervalle orange, mettons 2,
Et bien je sais qu'il existe un unique antécédent a, grâce au théorème des valeurs intermédiaires. Comment on rédige ça? Deux conditions: d'abord f est continue sur l'intervalle bleu
Ensuite, f est strictement croissante ou décroissante sur l'intervalle bleu là encore. Enfin je précise les bornes des intervalles: comme on va de x = -1 à x = 1, dont les images sont 3 et -1, on écrit que l'image de l'intervalle [-1;1] est l'intervalle [-1;3]. Comme on a les deux conditions et les valeurs aux bornes, d'après le TVI avec stricte monotonie,
2 appartient à l'intervalle orange [-1;3],
Il a donc un unique antécédent dans l'intervalle bleu qu'on nomme a pour antécédent, tel que f(a) = 2. On doit avoir cette disposition, que je vais appeler de la ficelle tendue le long d'une diagonale, et qu'on identifie dans un tableau de variation pour trouver un antécédent.
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Des exercices de maths en terminale S sur continuité et théorème des valeurs intermédiaires. Vous pouvez travailler sur les exercices de maths corrigés en terminale S en PDF également ou consulter tout ces exercices corrigés avec leur correction détaillée. Exercice 1 – Etude d'une fonction f
Soit f la fonction définie sur par. 1. Etudier les variations de f sur. 2. Résoudre l'équation sur l'intervalle. On note cette solution. Exercice 2 – Fonction continue qui ne s'annule jamais
Montrer qu'une fonction continue sur R qui ne s'annule jamais est de signe constant. Exercice 3 – Tangente et unicité d'une solution
Montrer que l'équation tan x = x possède une unique solution dans
Exercice 4 – Continuité et théorème du point fixe
Montrer que toute application continue d'un segment dans lui-même admet un point fixe:
Exercice 5 – Montrer qu'il y a une unique racine
Soit f la fonction définie sur par
Montrer que f possède une unique racine puis en donner un encadrement d'amplitude 0, 01. Exercice 6 – Etude d'un polynôme.
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Soit P la fonction définie sur par
1. Dresser le tableau de variations de P.
2. En déduire le nombre de racines de P.
3. Retrouver directement ces racines en factorisant P(x). Exercice 7 – Théorème des valeurs intermédiaires
Montrer que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. Exercice 8 – Racine et théorème des valeurs intermédiaires
Soit f la fonction définie sur R par
Montrer que f possède une unique racine. Corrigé de ces exercices sur la continuité et les valeurs intermédiaires
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En complément des cours et exercices sur le thème continuité et théorème des valeurs intermédiaires: correction des exercices en terminale, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne. 87
Primitive d'une fonction composée. Exercices corrigés de mathématiques en Terminale S sur les fonction exponentielles. Exercice: Soit la fonction f définie par 1. Donner le domaine de déinifition de la fonction f. nous avons donc pour que f soit définie, il faut que x-3>0 soit x>3. ainsi: 2. Donner… 80
Exercice de mathématiques sur l'étude de fonctions numériques en classe de terminale s. Exercice n° 1: Etudier la fonction f définie sur a. f est une fonction polynomiale donc dérivable sur Donc f est croissante sur b. f est une fonction rationnelle dérivable sur f ' est négative sur… 79
Des exercices de maths en terminale S sur continuité et théorème des valeurs intermédiaires.
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Comment faut-il rédiger? Exemple 1: antécédent d'un nombre k pour une fonction croissante
Nous nous plaçons dans le cas d'une fonction croissante. Montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur [a;b]. Bien penser à la formulation de trois hypothèses:
f est strictement croissante sur [a;b]
Je calcule f(a)=…. et f(b)=…. et je remarque donc que k ∈ [ f(a); f(b)]. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=k admet une unique solution sur [a;b]. Exemple 2: antécédent de 0 pour une fonction décroissante
Nous prenons cette fois le cas d'une fonction décroissante, avec f(0)=1 et:
On rédige pareillement:
f est continue sur [0;+∞[
f est strictement décroissante sur [0;+∞[
Je calcule f(0)=1 et et je remarque donc que 0∈]-∞;1]. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur [0;+∞[. A quoi cela va-t-il servir dans la suite de l'exercice? Le théorème des valeurs intermédiaires nous a permis d'affirmer que f(x) prend la valeur 0: cela correspond à un changement de signe de f(x).
Continuité et TVI
>> Théorème des valeurs intermédiaires Corrigés vidéos et fiche >> Unique antécédent d'une fonction: TVI
Vous trouvez cette explication utile? Envoyez-là au groupe facebook de votre classe! On va prendre une minute pour comprendre le théorème des valeurs intermédiaires à partir de l'exemple de la fonction x^3 – 3x + 1
C'est parti! On nous demande de prouver qu'il existe un unique antécédent, réel a tel que f(a) = 2. a est un antécédent de 2. Prouver l'existance d'un unique antécédent, ça doit être automatique, c'est le théorème des valeurs intermédiaires, en précisant que la fonction est strictement croissante ou décroissante. Cette fonction est strictement décroissante
sur [ -1; 1] Et sur cet intervalle, elle prend ses valeurs entre 3, et -1
on a une fonction de -1; 1 dans [-1; 3]
Cette lecture graphique sert à bien comprendre, mais n'est pas utile pour démontrer l'existence d'un unique antécédent. Un simple tableau de variation suffit,
un tableau où la fonction est décroissante sur -1;1
de f(-1) = 3 vers f(1)= -1.
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