Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante:
Condition de convergence [ modifier | modifier le code]
Énoncé [ modifier | modifier le code]
Théorème de Bertrand —
La série de Bertrand associée à α et β converge si et seulement si α > 1 ou ( α = 1 et β > 1). Cette condition nécessaire et suffisante se résume en (α, β) > (1, 1), où l'ordre sur les couples de réels est l' ordre lexicographique (celui adopté pour trier les mots dans un dictionnaire: on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc. ). Démonstration par le critère intégral de Cauchy [ modifier | modifier le code]
La série de Bertrand a même comportement que l' intégrale en +∞ de la fonction
(définie et strictement positive sur]1, +∞[), car f est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l' intégrale de Bertrand associée:
si α > 1, la série converge;
si α < 1, elle diverge;
si α = 1, elle converge si et seulement si β > 1.
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Si est à valeurs positives ou nulles et si a une primitive simple, en démontrant que n'admet pas de limite finie en, on démontre que n'est pas intégrable sur, etc…. Dans le cas où n'est pas à valeurs positives ou nulles, il faut raisonner avec. M4. En utilisant l'exemple classique: la fonction n'est pas intégrable sur. 5. Intégrales de Bertrand. ⚠️ Très important: les intégrales de Bertrand ne sont pas au programme, vous ne pouvez pas utiliser le résultat sur la convergence. Vous ne devez pas dire triomphant » c'est une intégrale de Bertrand «. Gardez Mr Bertrand comme ami inavoué et utilisez la méthode adaptée suivant le cas rencontré en pratique. Le compter ouvertement pour votre ami, c'est vous exposer à devoir faire une démonstration complète. 5. 1 sur 🧡
But étude de la convergence de l'intégrale
Résultat: Intégrale convergente
Méthode si:
Chercher au brouillon tel que. Vous prendrez tel que et justifierez sur votre copie que puis que etc …
Calculer en distinguant et. Suivant le cas, étudier la limite de en.
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Négligeabilité [ modifier | modifier le code]
On considère deux intégrales impropres en b,
Si, quand t → b, (en particulier si) et g est de signe constant, alors: si l'intégrale
est convergente, l'intégrale
l'est aussi [ 2] (d'après le § « Majoration »). Remarque
La condition « de signe constant » est indispensable. Par exemple:
converge, mais
diverge, bien qu'en +∞,
Équivalence [ modifier | modifier le code]
Avec les mêmes notations qu'au paragraphe précédent, si f et g sont équivalentes au point b et de signe constant, alors leurs intégrales sont de même nature puisque f = O ( g) et g = O ( f). Puisque sin( s) – s est équivalent en 0 + à – s 3 /6 < 0, converge si et seulement si λ < 2. La condition « de signe constant » est, là encore, indispensable (de même que dans le critère analogue pour les séries). Par exemple,
sont équivalentes en +∞ mais leurs intégrales ne sont pas de même nature, d'après la remarque du § précédent. Règle d'Abel [ modifier | modifier le code]
Une conséquence du critère de Cauchy ci-dessus est le théorème suivant (pour g localement intégrable sur [ a, b [):
Si f est décroissante et de limite nulle en b et si la fonction est bornée, alors l'intégrale de fg sur [ a, b [ converge [ 3].
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Neuf énoncés d'exercices de calcul intégral (fiche 04): intégrales impropres. Déterminer la nature de chacune des six intégrales impropres suivantes:
Soit continue et possédant en une limite (finie ou infinie). Montrer que si l'intégrale impropre converge, alors
Attention! Cette intégrale peut très bien converger sans que n'admette de limite en
Voir à ce sujet l'exercice n° 7 ci-dessous ou bien ici. Montrer que, pour tout:
On considère, pour, les intégrales impropres (dites « de Bertrand »): Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante de convergence est:
Ces intégrales doivent être considérées comme des « intégrales de référence ». On pose, pour tout: Calculer et montrer que Quelle est la nature de la série? Montrer que pour tout et pour tout: En déduire le calcul de
On pourra faire intervenir la suite des intégrales de Wallis (voir par exemple les premières sections de cet article). Soit une suite décroissante à termes strictement positifs. On suppose que et que la série converge.
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On peut de plus remarquer que si α < 0 ou si α = 0 et β ≤ 0, alors f est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière. Démonstration par comparaison avec d'autres séries [ modifier | modifier le code]
Les cas α ≠ 1 se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées). Si α = β = 1, la série diverge car son terme général est équivalent à celui,, d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si α = 1 et β ≤ 1 (et a fortiori si α < 1). Si α = 1 et β ≠ 1, on peut procéder de même en remarquant que pour tout γ ≠ 0,, ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas α ≠ 1. ) Voir aussi [ modifier | modifier le code]
J. Bertrand, « Règles sur la convergence des séries », JMPA, vol. 7, 1842, p. 35-54 ( lire en ligne)
Émile Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, Gauthier-Villars, 1902 ( lire en ligne), p. 5-6
Portail de l'analyse
Et dans ce cas:
exemple: On sait que l'intégrale converge. Comme la fonction est une bijection strictement décroissante de classe, alors l'intégrale converge. 👍 Pour la rédaction d'un changement de variable:
On suppose que est la variable initiale et l'intervalle initial d'intégration et que vous voudriez remplacer en fonction de. Suivre les étapes suivantes:
Définir,
puis et remplacez le par ce par quoi vous voulez remplacer. Et enfin terminez en remplaçant par l'intervalle de façon à avoir défini une bijection. (voir un exemple en M1 § 5. ) M9. Par utilisation du théorème d'intégration par parties. Si l'on écrit la fonction sous la forme, les fonctions et étant de classe sur l'intervalle de bornes et, si la fonction admet une limite finie en et en, il suffit que l'intégrale converge pour que l'intégrale converge. 2. Comment prouver qu'une fonction est intégrable? ⚠️ Important: Toujours commencer par vérifier que est continue par morceaux sur l'intervalle. Quelques remarques pour simplifier:
Si l'intervalle est de la forme, prouver que est intégrable sur et sur où est un réel donné de.
M8. En utilisant le théorème de changement de variable:
On suppose que est continue par morceaux sur et qu'il existe une fonction de classe sur l'intervalle définissant une bijection strictement monotone de sur,
alors est intégrable sur ssi est intégrable sur et dans ce cas
dém: On applique le théorème de changement de variable aux fonctions et pour prouver l'intégrabilité. M9. Lorsqu'une primitive de est simple, on démontre que admet une limite finie en pour démontrer que est intégrable sur, etc…. M10. En utilisant des fonctions de carré intégrables: si les fonctions et sont continues par morceaux à valeurs dans sur l'intervalle et de carré intégrable, la fonction est intégrable sur. On rappelle que la justification (parfois demandée) résulte de l'inégalité classique:. Pour plus d'efficacité dans vos révisions et pour obtenir de meilleures notes, utilisez les nombreuses ressources mises à disposition des étudiants en Maths Spé, notamment les cours en ligne de Maths en PSI, les cours en ligne de Maths en PC et même les cours en ligne de Maths en MP mais aussi les cours en ligne de Maths en PT.
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