Le mot «exponentielle» quant à lui apparaît pour la première fois dans la réponse de Leibniz. Euler C'est le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) utilisa pour la première fois la notation e.
La première apparition de la lettre « e » pour désigner la base du logarithme népérien date de 1728, dans un manuscrit d'Euler qui le définit comme le nombre dont le logarithme est l'unité et qui se sert des tables de Vlacq pour l'évaluer à 2, 7182817. Il fait part de cette notation à Goldbach dans un courrier en 1731. Le choix de la lettre est parfois interprété comme un hommage au nom d'Euler lui-même ou l'initiale de « exponentielle ». Pour en savoir plus: la fonction exponentielle et le nombre e
T. D. Les fonctions (terminale). : Travaux Dirigés sur la fonction Exponentielle
TD n°1: La fonction exponentielle. De nombreux exercices avec quelques corrigés en fin de TD. Cours sur la fonction Exponentielle
Activités d'introduction
Radioactivité au Tableur: lien. Animation Python: lien. Une animation sous Python de la construction point à point de la courbe.
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Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths T ale > Fonction Exponentielle UBpAbMmB7zM
Pré requis Il te faudra, comme pour les autres fonctions, être capable de dériver et faire du calcul littéral et numérique avec cette nouvelle fonction. Elle possède des propriétés qui lui sont propres et qui te permettront, en particulier, de lever des indéterminations dans les calculs de limites. Les tableaux sur les opérations avec les limites doivent donc être connus. Enjeu Cette fonction servira de base ensuite à d'autres chapitres, comme la fonction logarithme et les nombres complexes. Terminale S : La Fonction Exponentielle. Il est donc important de connaître les propriétés algébriques qui lui sont propres. Certaines démonstrations de cours te permettront de découvrir de nouveaux types de raisonnements avec lesquels tu seras peut-être confronté dans le supérieur. I. Définition de la fonction exponentielle
Soit (E) l'équation différentielle avec. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation. Lemme
Si est une fonction solution de (E), alors pour tout,.
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La fonction exponentielle de base q est convexe sur \mathbb{R}. II L'exponentielle de base e
Fonction exponentielle de base e
La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée \exp, est la fonction définie sur \mathbb{R} par: \exp\left(x\right) = e^{x}
où e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1. Pour tous réels x et y: \exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right) e=\exp\left(1\right) \approx 2{, }718. L'écriture courante de \exp\left(x\right) est e^{x}. Pour tout réel x: e^{x} \gt 0 C Les propriétés algébriques Soient deux réels x et y: e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y Soient deux réels x et y. Cours sur les fonctions exponentielles terminale es histoire. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances: e^{x+y} = e^{x} e^{y} e^{-x} =\dfrac{1}{e^x} e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^{y}} \left(e^{x}\right)^{y} = e^{xy} III Etude de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}.
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Propriété et définition:
Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelée fonction exponentielle et est notée. Démonstration:
Soit une fonction solution de (E) et on pose
est défini sur, dérivable et:
donc est constante sur. Pour tout réel, donc pour tout réel, et. Cours sur les fonctions exponentielles terminale es strasbourg. Conséquence:
La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur (car dérivable) et ne s'annule pas. II. Propriété algébrique de l'exponentielle
Propriété 1
Pour tous réels et
Démonstration de la propriété 1:
Soit la fonction
est dérivable sur. et
d'où car pour tout réel donc Propriété 2
Démonstration de la propriété 2:
(On procède par raisonnement par récurrence)
Pour,
Notations simplifiées:
n'est pas rationnel (), il est transcendant et irrationnel. alors, Propriétés
Par extension, si, sera noté alors les propriétés vues s'écrivent:
Remarque:
donc pour tout réel, III. Étude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur. La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1; e).
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Limites de aux bornes de son ensemble de définition
Propriétés
Démonstrations:
Montrons que pour tout,
Soit, et pour on a d'où ( est croissante sur). Pour tout, d'où donc
Pour tout,
Montrons d'abord que
Pour cela, on établit que pour,
Posons,
Pour tout, donc
d'où
pour tout
or d'où (avec)
D'autre part: et d'où
On pose (lorsque tend vers, tend vers)
d'où IV. Dérivée de - Primitive associée
Publié le 03-02-2020
Merci à bill159 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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