Chapitre 11: Séries Entières - 3: Somme d'une Série Entière de variable réelle Sous-sections 3. 1 Intervalle de convergence, continuité 3. 2 Dérivation et intégration terme à terme 3. 3 Développements usuels On notera cette série entière:. 3. 1 Intervalle de convergence, continuité On a un théorème de continuité très simple qu'on va admettre. Théorème: une série entière de rayon de convergence. On définit la fonction par:. Si,. Si est fini, De plus, dans tous les cas, est continue sur. 2 Dérivation et intégration terme à terme Les théorèmes ont encore des énoncés très simples et on va encore les admettre. Alors est de classe sur au moins et, est une série entière qui a, de plus, le même rayon de convergence. Théorème: une série entière de rayon de convergence, convergente sur. Séries entières usuelles. Alors, est une série entière qui a encore le même rayon de convergence et qui converge partout où converge. Remarque: En un mot, on peut dériver et intégrer terme à terme une série entière de variable réelle sur l' ouvert de convergence, ce qui ne change pas le rayon de convergence.
SÉRies NumÉRiques - A Retenir
( voir cet exercice)
Démontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^\infty$ en utilisant les séries entières
Pour démontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0$, il suffit de démontrer
qu'elle est développable en série entière en $0$ ( voir cet exercice)
Calculer le terme général d'une suite récurrente à l'aide d'une série entière
Pour calculer le terme général d'une suite $(a_n)$ vérifiant une relation de récurrence, on peut introduire la série génératrice associée
$$S(x)=\sum_n a_n x^n$$
ou encore parfois la série entière
$$T(x)=\sum_n \frac{a_n}{n! Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I. - Analyse - Séries Entières. }x^n. $$
A l'aide de la formule de récurrence définissant $(a_n)$, on essaie de trouver une formule algébrique faisant intervenir $S$ et éventuellement ses dérivées ($T$ si on travaille avec la deuxième série génératrice). À l'aide de cette formule, on essaie de trouver la valeur de $S$, puis d'en déduire $a_n$ ( voir cet exercice ou cet exercice).
Chapitre 11 : SÉRies EntiÈRes - 3 : Somme D'une SÉRie EntiÈRe De Variable RÉElle
Enfin, il est parfois nécessaire d'étudier ce qui se passe sur le bord du disque de convergence (lorsque le module de zest égal à R), où le comportement de la série est difficilement prévisible. FONCTION DÉVELOPPABLE EN SÉRIE ENTIÈRE On dit qu'une fonction d'une variable complexe est dévelop¬ pable en série entière au voisinage d'un point s'il existe une série entière de rayon de convergence R strictement positif telle que la fonction soit égale à la limite de cette série entière. Une fonction développable en série entière est infiniment dérivable, l'inverse n'étant pas toujours vrai. Les fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, fonctions trigonomé- triques, etc. ) sont toutes développables en série entière. Cette propriété est très utile, par exemple dans des calculs d'intégrales. Séries numériques - A retenir. Enfin, on dit qu'une fonction est analytique sur un ensemble U si elle est développable en série entière en tout point de cet ensemble. Si, dans l'ensemble des réels, toute fonction infiniment dérivable n'est pas nécessairement analytique, cette propriété est vraie en analyse complexe.
RÉSumÉ De Cours De Sup Et SpÉ T.S.I. - Analyse - SÉRies EntiÈRes
Série entière - rayon de convergence
On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum_{n}a_nz^n$ où $(a_n)$ est une suite de nombres complexes et où $z\in\mathbb C$. Lemme d'Abel: Si la suite $(a_nz_0^n)$ est bornée, alors pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<|z_0|$, la série $\sum_n a_n z^n$
est absolument convergente. On appelle rayon de convergence de la série entière
$$R=\sup\{\rho\geq 0;\ (a_n\rho^n)\textrm{ est bornée}\}\in \mathbb R_+\cup\{+\infty\}. Chapitre 11 : Séries Entières - 3 : Somme d'une Série Entière de variable réelle. $$
Proposition: Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors, pour tout $z\in \mathbb C$,
si $|z|R$, la série $\sum_n a_nz^n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers 0);
si $|z|=R$, alors on ne peut pas conclure en général. Le disque ouvert $D(0, R)$ est alors appelé disque ouvert de convergence de la série entière. Corollaire (convergence normale): Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit
$r\in]0, R[$.
Calculer le rayon de convergence d'une série entière
Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on peut
utiliser la règle de d'Alembert (uniquement dans ces cas pratiques); si la série entière est de la forme $\sum_n a_n z^{pn}$, on pose
$u_{n}=a_n z^{pn}$ et on étudie la limite de $|u_{n+1}/u_n|$. La série va converger si cette limite est inférieure stricte à 1, diverger si la limite
est supérieure stricte à 1 ( voir cet exercice). trouver un encadrement ou un équivalent du terme général ( voir cet exercice). Démontrer qu'une fonction est développable en série entière
Pour démontrer qu'une fonction est développable en série entière, on peut
pour les exemples pratiques, utiliser les développements en série entière usuels et les règles de sommation et de produits ( voir cet exercice);
pour les exercices théoriques, utiliser une formule de Taylor ( voir cet exercice).
Les Rayonnements dans l'Univers
Un rayonnement correspond à un flux de particules, ondulatoire ou non, émis par une source. Il existe plusieurs types de rayonnement: les rayonnements électromagnétiques:...
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Cette grandeur permet de donner une indication sur la "force" d'un son: plus l'intensité sonore est élevée et plus le son perçu est fort par l'oreille humaine. L'intensité... Ds terminale s physique ondes est. Autres ressources en terminale s
Ds Terminale S Physique Ondes Est « Comparable
Les ondes progressives longitudinales: la perturbation se fait parallèlement à la direction de propagation de l'onde. Différence entre onde longitudinale et onde transversale Le retard est le temps mis par une onde progressive pour atteindre un point M_2 à partir d'un point M_1 distant de M_2 d'une distance d: La célérité d'une onde entre les points M_1 et M_2 est la vitesse à laquelle se propage une perturbation. Elle est donnée par la relation suivante: v = \dfrac{d}{\tau}=\dfrac{M_1M_2}{t_2-t_1}
Avec:
v la célérité de l'onde (en m. s -1)
d la distance parcourue par la perturbation entre deux points M_1 et M_2 (en m): d=M_1M_2
\tau le retard donc le temps mis pour parcourir la distance d (en s) Un séisme se produisant à 17 h 00 est ressenti à une distance de 3600 km de l'épicentre à 17 h 10. Fabrice CAPBERT Sciences Physiques Lycée Joliot Curie Sète Capneuronal Fabrice CAPBERT Lycée Joliot Curie à Sète. La célérité des premières ondes ressenties est donc égale à:
v = \dfrac{d}{\tau}
v= \dfrac{3\ 600. 10^3}{10\times 60}
v= 6{, }0. 10^3 m. s -1 La célérité d'une onde dépend notamment de la nature de l'onde (longitudinale ou transversale) et des caractéristiques du milieu (nature, densité, etc. ).
Ds Terminale S Physique Ondes Électromagnétiques
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Physique-Chimie en Terminale
En cas de difficulté sur les phénomènes ondulatoires après ce cours, les cours particuliers de Physique-Chimie vous permettront de progresser jusqu'aux résultats du bac. Même avant cela, les cours particuliers vous pousseront à vous dépasser à pourquoi pas à viser les meilleures prépa du classement des prépa MP. A- Ondes progressives en Terminale
1. Définition d'une onde progressive en Terminale
Une perturbation qui se propage dans un milieu forme est une onde progressive Une onde progressive ne transporte pas de matière, mais elle transporte de l'énergie. Phénomènes Ondulatoires en Terminale : cours complet et exercices. En physique, une grandeur particulière est associée à l'onde, elle mesure la perturbation, elle dépend de la position du point où on se place et de la date. 2. Retard de l'onde en Terminale
Lorsqu'une onde se propage, les mêmes perturbations affectent des points distincts avec un délai temporel. Si l'onde touche le point avant le point, le retard de l'onde entre ces deux points est
où et sont les dates auxquelles la même perturbation affecte successivement les deux points.
Ds Terminale S Physique Ondes Dans
Le niveau sonore d'une source est défini par la relation suivante: L = 10 \cdot \log\left( \dfrac{I}{I_0}\right)
L le niveau sonore (exprimé en décibel, noté dB)
I l'intensité sonore de la source (en W·m -2) I_0 une intensité de référence ( I_0=1{, }0. Ds terminale s physique ondes électromagnétiques. 10^{-12} W. m -2) Intensités et niveaux sonores
L'intensité de référence correspond à l'intensité sonore la plus faible que peut détecter l'oreille humaine, appelée seuil d'audibilité. Le niveau sonore se mesure à l'aide d'un sonomètre. La perception du niveau sonore d'un son est liée à son amplitude, mais varie également avec sa fréquence.
Ds Terminale S Physique Ondes Est
Chimie; combustion; CO2 Panneaux photovoltaïques Turbo-alternateurs Transport et distribution de l'énergie
Ds Terminale S Physique Ondes Gravitationnelles
Célérité du son dans l'air à 20°C: v = 340 m/s Célérité du son dans l'eau à 20°C: v = 1500 m/s Célérité de la lumière dans le vide: v = 300 000 km/s = 3, 00. 10 8 m/S II Les ondes progressives périodiques A La définition d'onde progressive périodique Onde progressive périodique Une onde progressive est dite périodique si la perturbation qui se propage se répète à intervalles de temps égaux. La chute de gouttes d'eau à intervalles de temps réguliers dans un récipient contenant de l'eau créera une onde progressive périodique. Ds terminale s physique ondes dans. Onde progressive périodique sinusoïdale Une onde périodique sinusoïdale est une onde périodique progressive décrite par une fonction sinusoïdale du temps. La pointe d'un vibreur sur la surface de l'eau créera une onde progressive sinusoïdale à la surface de l'eau. B La périodicité temporelle Les ondes progressives périodiques correspondent à des phénomènes périodiques caractérisés par une période temporelle. La période temporelle T d'une onde progressive périodique est la durée la plus courte au bout de laquelle un point se retrouve dans le même état vibratoire.
Pour caractériser une onde progressive périodique, on utilise souvent la fréquence au lieu de la période. La fréquence temporelle f, exprimée en Hertz (Hz), est, par définition, l'inverse de la période temporelle T, exprimée en secondes (s): f = \dfrac{1}{T}
Elle correspond au nombre de périodes temporelles contenues dans une seconde. La période de l'onde ultrasonore émise par un capteur piezoélectrique vaut 25 microsecondes. La fréquence du signal est donc de:
f = \dfrac{1}{T}
f = \dfrac{1}{25\times 10^{-6}} = 4{, }0. Caractéristiques des ondes - TS - Cours Physique-Chimie - Kartable. 10^4 Hz
Cela signifie qu'il s'écoule 40 000 périodes temporelles au bout d'une seconde. C La périodicité spatiale Les ondes progressives périodiques étant des perturbations se propageant de façon périodique, on peut, à un instant figé, définir une périodicité spatiale en plus de la périodicité temporelle: Vagues à la surface de l'ocean Tout comme la périodicité temporelle est caractérisée par une période temporelle, la périodicité spatiale est caractérisée par une période spatiale appelée longueur d'onde.