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La Corse et ses plats typiques
L'île de Beauté n'est pas uniquement louée pour ses plages paradisiaques, elle rayonne aussi par son exceptionnel patrimoine culinaire. Ne comptez pas perdre de kilos superflus lors de vos vacances, car vous allez succomber plus d'une fois pour des mets généreux! Il s'agit par exemple de l'Aziminu, une délicieuse soupe que l'on peut comparer à la bouillabaisse provençale. Ce sont surtout toutes les charcuteries irrésistibles servies en entrée aux 4 coins de l'île. Lonzi, Prisuttu, Panzetta, repas sera marqué par de belles découvertes culinaires! Avec un Patrimonio ou un blanc de Sartène, l'expérience n'en sera que plus belle. Hébergements avec Jacuzzi en Aveyron, Midi-Pyrenees 12. Si vous raffolez des fromages, vous ne serez pas non plus déçu en goûtant au Bastelicaccia ainsi qu'au Brocciu. Pour conclure vos déjeuners ou vos dîners, laissez vous tenter par le Cédrat confit, une exquise spécialité de fruit.
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Pour $\alpha, \beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de
$$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}. $$
On suppose $\alpha>1$. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente. On suppose $\alpha=1$. Calculer, pour $X>e$, $\int_e^X\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. En déduire les valeurs de $\beta$ pour lesquelles l'intégrale converge. On suppose $\alpha<1$. En comparant à $1/t$, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Intégrale De Bertrand La
M5. 1. Cas: si et s'il existe et tels que:
est intégrable sur ssi. M5. 2. Cas où: si et s'il existe et tels que,
M5. 3. Cas où: si et s'il existe et tels que,
M6. En prouvant que est dominée par une fonction intégrable:
M6. Cas: si, il suffit qu'il existe tel que. Ce raisonnement s'applique en particulier lorsque avec. 👍 Cas fréquents d'utilisation:
a) si ou avec et continue sur, il est souvent possible de conclure en prouvant que. On pourra en particulier utiliser ce raisonnement lorsque est une fonction polynôme de degré. b) si, où est continue sur (), il suffit de trouver tel que. M6. Cas où: si et s'il existe tel que, on écrit que la fonction est intégrable sur, donc est intégrable sur. M6. Cas où: si et s'il existe tel que, on écrit que la fonction est intégrable sur, donc est intégrable sur. M7. En utilisant un DL:
Si et si l'on peut trouver un développement limité de en à l'ordre 2 de la forme,
est intégrable sur ssi (justifier le résultat à chaque fois). On peut aussi écrire que et justifier que est intégrable sur ssi.
Integral De Bertrand
La série harmonique alternée de terme général ( − 1) n /n est l'exemple d'une série
qui converge d'après le critère de Leibniz, mais qui ne converge pas absolument. Attention: On ne peut pas utiliser les équivalents pour étudier des séries dont le
terme général n'est pas de signe constant. On privilégiera dans ce cas les
déve-loppements asymptotiques. (Voir ex. 18). Exercice 4. 16
Etudier la convergence et la convergence absolue de la série de terme général
u n = (−1) n
n Arctan1
n. Pour tout n 1, on a |u n | = 1
n. Puisque l'on a Arctan u ∼
u →0 u, on en
déduit que |u n | ∼
n →+∞ 1/n 2. Comme la série de Riemann de terme général 1/n 2
converge, il en résulte que la série de terme général |u n | converge, c'est-à-dire que la
série de terme général u n converge absolument. Donc elle converge. Exercice 4. 17
CCP PC 2005
u n = ( − 1) n
n− ln n
La fonction, f définie sur [ 1, + ∞ [ par f (x) = 1
x − ln x est dérivable et admet
comme dérivée f (x)= 1 −x
x(x − ln x) 2. La dérivée étant négative, il en résulte que f
est décroissante.
Intégrale De Bertrand Le
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Christophe Bertrand (1981-2010)
CD I: Skiaï pour petit ensemble; La chute du rouge pour clarinette, violoncelle, vibraphone et piano; Treis pour violon, violoncelle et piano; Ektra pour flûte; Dikha pour clarinette (et clarinette basse) et dispositif électronique; Haos pour piano; Aus pour alto, clarinette, saxophone soprano et piano; Virya pour flûte, clarinette, percussion et piano; Quatuor I pour deux violons, alto et violoncelle. Zafraan Ensemble; KNM Berlin; Clemens Hund-Göschel, piano; Lima Mallett, flûte; Miguel Perez Inesta, clarinette; Premil Petrović, direction (1:1, 2, 8)
CD II: Sanh pour clarinette basse, violoncelle et piano; Arashi pour alto; Hendeka pour violon, alto, violoncelle et piano; Haïku pour piano; Dall'inferno pour flûte, alto et harpe; Satka pour flûte, clarinette, violon, violoncelle, percussions et piano; Quatuor II pour deux violons, alto et violoncelle. Zafraan Ensemble; KNM Berlin; Joas Gerhard, alto; Clemens Hund-Göschel, piano; Victor Aviat, direction (2:6)
CD III: Yet pour grand orchestre; Mana pour orchestre; Vertigo pour deux pianos et orchestre; Scales pour orchestre de chambre; Ayas pour onze cuivres et percussions; Okhtor pour orchestre.
On peut de plus remarquer que si α < 0 ou si α = 0 et β ≤ 0, alors f est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière. Démonstration par comparaison avec d'autres séries [ modifier | modifier le code]
Les cas α ≠ 1 se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann (et croissances comparées). Si α = β = 1, la série diverge car son terme général est équivalent à celui,, d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si α = 1 et β ≤ 1 (et a fortiori si α < 1). Si α = 1 et β ≠ 1, on peut procéder de même en remarquant que pour tout γ ≠ 0,, ou utiliser le test de condensation de Cauchy. (On retrouve ensuite, par comparaison, les cas α ≠ 1. ) Voir aussi [ modifier | modifier le code]
J. Bertrand, « Règles sur la convergence des séries », JMPA, vol. 7, 1842, p. 35-54 ( lire en ligne)
Émile Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, Gauthier-Villars, 1902 ( lire en ligne), p. 5-6
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