Dérivée de racine carrée de u - Terminale - YouTube
Dérivée De Racine Carré De X
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Dérivée De Racine Carrée En
En mathématiques et en théorie des nombres, la racine carrée entière (isqrt) d'un entier naturel est la partie entière de sa racine carrée:
Sommaire
1 Algorithme
2 Domaine de calcul
3 Le critère d'arrêt
4 Références
Algorithme [ modifier | modifier le code]
Pour calculer √ n et isqrt( n), on peut utiliser la méthode de Héron — c'est-à-dire la méthode de Newton appliquée à l'équation x 2 – n = 0 — qui nous donne la formule de récurrence
La suite ( x k) converge de manière quadratique vers √ n. On peut démontrer que si l'on choisit x 0 = n comme condition initiale, il suffit de s'arrêter dès que
pour obtenir
Domaine de calcul [ modifier | modifier le code]
Bien que √ n soit irrationnel pour « presque tout » n, la suite ( x k) contient seulement des termes rationnels si l'on choisit x 0 rationnel. Ainsi, avec la méthode de Newton, on n'a jamais besoin de sortir du corps des nombres rationnels pour calculer isqrt( n), un résultat qui possède certains avantages théoriques en théorie des nombres.
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Le critère d'arrêt [ modifier | modifier le code]
On peut démontrer que c = 1 est le plus grand nombre possible pour lequel le critère d'arrêt
assure que
dans l'algorithme ci-dessus. Puisque les calculs informatiques actuels impliquent des erreurs d'arrondi, on a besoin d'utiliser c < 1 dans le critère d'arrêt, par exemple:
Références [ modifier | modifier le code]
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article de Wikipédia en anglais intitulé « Integer square root » ( voir la liste des auteurs). Arithmétique et théorie des nombres
\)
\[u(x) = x\]
\[u'(x) = 1\]
\[v(x) = x^2 + \sqrt{x}\]
\[v'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Rappelons la formule de dérivation. Si \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) alors \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}\)
Par conséquent…
\[g'(x) = \frac{x^2 + \sqrt{x} - x\left(2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]
Développons le numérateur. Dérivée de racine carré de x. \[g'(x) = \frac{x^2 + \sqrt{x} - 2x^2 - \frac{x}{2 \sqrt{x}}}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]
\[\Leftrightarrow g'(x) = \frac{-x^2 + \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{2}}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]
\[\Leftrightarrow g'(x) = \frac{-x^2 + \frac{\sqrt{x}}{2}}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]
On a le choix de présenter plusieurs expressions de \(g'. \) Une autre, plus synthétique, est \(g'(x) = \frac{-2x^2 + \sqrt{x}}{2(x^2 + \sqrt{x})^2}. \)
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4.
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