vecteurs orthogonaux
orthogonaux (vecteurs -) (2):
Soit
et
deux vecteurs non nuls. sont
orthogonaux lorsque les droites ( AB) et ( CD) sont perpendiculaires. Notation:. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. orthogonaux
(vecteurs -) (1):
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit
scalaire est nul.
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Deux Vecteurs Orthogonaux Est
Exemple 6
Trouvez si les 2 vecteurs une = i + 2j et b = 2i -j + 10k sont orthogonaux ou non. a. b = (1, 2) + (2. -1) + (0. 10)
a. b = 2 -2 + 0
Exemple 7
Vérifiez si les 2 vecteurs a = (2, 4, 1) et b = (2, 1, -8) sont orthogonaux. Ainsi, nous pouvons écrire:
a. b = (2, 2) + (4, 1) + (1. -8)
a. b = 4 + 4 – 8
Propriétés des vecteurs orthogonaux
Maintenant que nous avons parcouru toutes les informations nécessaires sur les vecteurs orthogonaux et que nous comprenons clairement comment pour vérifier si les vecteurs sont orthogonaux ou non, analysons ensuite certaines des propriétés des vecteurs orthogonaux. Perpendiculaire dans la nature
Les vecteurs dits orthogonaux seraient toujours de nature perpendiculaire et donneraient toujours un produit scalaire égal à 0 car être perpendiculaire signifie qu'ils auront un angle de 90° entre eux. Le vecteur zéro est orthogonal
Le vecteur zéro serait toujours orthogonal à chaque vecteur avec lequel le vecteur zéro existe. C'est parce que n'importe quel vecteur, lorsqu'il est multiplié par le vecteur zéro, donnerait toujours un produit scalaire à zéro.
Cas particulier:
Deux droites orthogonales et coplanaires sont perpendiculaires. Deux droites orthogonales et sécantes sont donc perpendiculaires. Sur cette figure:
Ce qui dans les deux cas, se note de la même façon:
1/ Orthogonalité d'un plan et d'une droite
Définition
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Théorèmes:
Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur qui la dirige est orthogonal à deux vecteurs directeurs, non colinéaires, du plan. Ou encore, si un vecteur qui la dirige est colinéaire à un vecteur normal au plan. Nous reviendrons en détail, dans le module suivant, sur les différentes façons
d'engendrer et de définir un plan. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites non parallèles de ce plan. On peut démontrer l'orthogonalité entre deux droites en utilisant, par exemple, le produit scalaire, comme nous le verrons plus loin. 1/ Orthogonalité: plan médiateur
On appelle plan médiateur du segment [ AB], le plan qui est orthogonal à la droite (AB) et qui passe par le milieu de [AB].
Deux Vecteurs Orthogonaux A La
3/ Définition du produit scalaire
Soient et deux vecteurs de l'espace. - si
sont colinéaires
sont orthogonaux:
Le vecteur nul étant colinéaire et orthogonal à tout vecteur:
4/ Propriétés et méthodes de calcul
Cette première méthode s'appuie sur la définition et sur certaines propriétés algébriques du produit scalaire, à savoir:
La propriété de distributivité:
Quels que soient les vecteurs,
et:
La propriété de commutativité:
Quels que soient les vecteurs
Propriétés qui ont pour conséquence: la propriété de double distributivité. Exemple d'utilisation de la méthode n° 1:
colinéaires et de même sens. orthogonaux. Colinéaires et de sens opposés. Autres propriétés algébriques du produt scalaire:
De cette dernière égalité découle la deuxième méthode de calcul du produit scalaire:
Méthode de calcul n°2 ( Méthode des normes):
Exemple d'utilisation de la méthode n° 2:
Et d'après le théorème de Pythagore:
Où
désigne le projeté orthogonal de
sur. La méthode n° 3 pour calculer un produit scalaire consistera donc à projeter l'un des vecteurs sur l'autre.
Corrigé
Commençons par tracer une représentation graphique pour se fixer les idées. Premier réflexe, considérer ce carré quadrillé comme un repère orthonormé d'origine \(A. \) Ainsi, nous avons \(M(2\, ;4), \) \(P(4\, ;3), \) etc. Il faut bien sûr trouver les coordonnées de \(I. \) C'est l'intersection de deux droites représentatives d'une fonction linéaire d'équation \(y = 2x\) et d'une fonction affine d'équation \(y = 0, 25x + 2. \) Ce type d'exercice est fréquemment réalisé en classe de seconde. Posons le système:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 2x}\\
{y = 0, 25x + 2}
\end{array}} \right. \)
On trouve \(I\left( {\frac{8}{7};\frac{{16}}{7}} \right)\)
Passons aux vecteurs. Leur détermination relève là aussi du programme de seconde (voir page vecteurs et coordonnées). On obtient:
\(\overrightarrow {BI} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{8}{7}}\\
{ - \frac{{12}}{7}}
\end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {CI} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \frac{{20}}{7}}\\
\end{array}} \right)\)
Le repère étant orthonormé, nous utilisons, comme dans l'exercice précédent, la formule \(xx' + yy'.
Deux Vecteurs Orthogonaux Dans
$$
À mesure que $\theta$ progresse, les vecteurs $\vec{U}_{\theta}$, $\vec{V}_{\theta}$ tournent d'équerre tandis que les vecteurs $\vec{u}_{\theta}$, $\vec{v}_{\theta}$ balayent l'ellipse en se déformant plus ou moins tels deux aiguilles d'une montre ovale 9. Une animation JavaScript/JSXGraph conçue pour l'occasion sur le site CultureMath en fait une démonstration convaincante. Il semble même qu'en certaines positions précises, les deux bases paraissent orthogonales (au sens usuel du terme). Voyons pourquoi et donnons-en l'interprétation en regard de la théorie (beaucoup plus aérienne) des formes quadratiques... À $\theta=0$, et sous les conditions $a>0$ et $b>0$ adoptées dans les illustrations, les vecteurs $\vec{u}_{0} = a\vec{\imath} + b\vec{\jmath}$ et $\vec{v}_{0}=\vec{\jmath}$ délimitent un angle aigu, tandis qu'à $\theta=\frac{\pi}{2}$ les vecteurs $\vec{u}_{\frac{\pi}{2}} = \vec{\jmath}$ et $\vec{v}_{\frac{\pi}{2}}=-a\vec{\imath} - b\vec{\jmath}$ s'ouvrent et délimitent un angle obtus.
La méthode n° 5 consiste donc à utiliser l'expression analytique pour calculer un produit scalaire. résultat évident d'après le théorème de Pythagore
Et dans l'espace muni d'un repère orthonormé:
On peut donc grâce à ce résultat calculer la distance entre deux points de l'espace:
5/ Équation cartésienne d'une droite du plan
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. Une direction de droite peut donc être définie par perpendicularité à une droite donnée, ou encore par orthogonalité à un vecteur donné. En terme de vecteur, on ne parle alors plus de vecteur directeur mais de vecteur normal. Une droite est entièrement définie par la donnée d'un point A et d'un vecteur normal
On a alors:
D'où, si le plan est rapporté à un repère orthonormé
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (D).
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