Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, ( G, ∗) désigne un groupe d' élément neutre e.
Définitions [ modifier | modifier le code]
Soit H un sous-ensemble de G. On dit que H est un sous-groupe de ( G, ∗) si la structure de G induit sur H une structure de groupe, c'est-à dire si les trois conditions suivantes sont satisfaites: H comprend le neutre de G, le composé de deux éléments de H selon la loi de G appartient toujours à H et l'inverse (selon la loi de G) de tout élément de H appartient lui-même à H. Dans ce cas, on dit aussi que le groupe formé par H et par la loi de groupe induite est un sous-groupe de G [ 1]. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Sous-groupe propre [ modifier | modifier le code]
Si G est un groupe alors { e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. Casino de Calais. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
Soit H, un sous-groupe de G différent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G.
Remarque: les groupes n'ayant pas de sous-groupes propres sont les groupes cycliques d' ordre premier ou égal à 1.
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La terminologie est en fait flottante. Les auteurs anglophones [ 2] et certains auteurs francophones [ 3] appellent sous-groupes propres d'un groupe G les sous-groupes de G distincts de G. Les auteurs qui adoptent cette définition d'un sous-groupe propre désignent par « sous-groupe trivial » (quand ils emploient cette expression) le sous-groupe réduit à l'élément neutre [ 2]. Propriété [ modifier | modifier le code]
L'élément neutre de H est idempotent donc égal à e (le neutre de G), et le symétrique (dans H) d'un élément h de H est aussi (l'unique) symétrique de h dans G. Pour cette raison, leur notation est la même dans H que dans G.
Caractérisation [ modifier | modifier le code]
D'après la définition donnée plus haut, une partie H de G est un sous-groupe de G si et seulement si:
H contient e et
H est stable par produits et inverses, i. Gendarmerie / Les Services de l'État / Services de l'État / Accueil - Les services de l'État dans le Pas-de-Calais. e. : ou encore:
Dans cette caractérisation, on peut (compte tenu de la condition 2. ) remplacer la condition 1. par: H est non vide. Un sous- ensemble fini de G est un sous-groupe de G si (et seulement si) il est non vide et stable pour les produits [ 4].
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Alors, puisque M est un sous-groupe maximal de G, M ∪{ x} est une partie génératrice de G. Puisque x est superflu, il en résulte que M est une partie génératrice de G, ce qui est absurde, puisque, par définition d'un sous-groupe maximal, M est un sous-groupe propre de G. La contradiction obtenue prouve que tout élément superflu appartient au sous-groupe de Frattini. Pour prouver la réciproque, supposons que x est un élément non superflu de G et prouvons que x n'appartient pas au sous-groupe de Frattini de G. Les Bourgeois de Calais, l'insouciance des années 60. Il s'agit de prouver qu'il existe un sous-groupe maximal de G qui ne comprend pas x. Puisque x n'est pas superflu dans G, il existe une partie X de G qui n'engendre pas G et qui est telle que X ∪{ x} engendre G. Il est clair que le sous-groupe de G engendré par X ne comprend pas x (dans le cas contraire, ce sous-groupe contiendrait la partie génératrice X ∪{ x} et serait donc G tout entier, autrement dit X serait une partie génératrice de G). L'ensemble E des sous-groupes de G contenant X et ne comprenant pas x est donc non vide.
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Daigami 3 October 2020: ncis new orleans cast episode 31
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