j ⃗ = 0 \vec{i}. \vec{j}=0. Par conséquent:
2. Applications du produit scalaire
Théorème (de la médiane)
Soient A B C ABC un triangle quelconque et I I le milieu de [ B C] \left[BC\right]. Alors:
A B 2 + A C 2 = 2 A I 2 + B C 2 2 AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}
Médiane dans un triangle
Propriété (Formule d'Al Kashi)
Soit A B C ABC un triangle quelconque:
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B × A C cos ( A B →, A C →) BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)
La démonstration est faite en exercice: Exercice formule d'Al Kashi
Si le triangle A B C ABC est rectangle en A A alors cos ( A B →, A C →) = 0 \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. Le produit scalaire - Maxicours. On retrouve alors le théorème de Pythagore. Définition (Vecteur normal à une droite)
On dit qu'un vecteur n ⃗ \vec{n} non nul est normal à la droite d d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d d.
Vecteur n ⃗ \vec{n} normal à la droite d d
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O, i ⃗, j ⃗) \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)
La droite d d de vecteur normal n ⃗ ( a; b) \vec{n} \left(a; b\right) admet une équation cartésienne de la forme:
a x + b y + c = 0 ax+by+c=0
où a a, b b sont les coordonnées de n ⃗ \vec{n} et c c un nombre réel.
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Réciproquement, toute droite admettant, un vecteur non nul, comme vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme. La droite d'équation admet pour vecteur normal. Remarque: Une telle droite admet pour vecteur directeur. Utilisation des cookies Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.
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\vec { v} =\left| \vec { u} \right| \times \left| \vec { v} \right|
5- Si les vecteurs \vec { u} et\vec { v} sont colinéaires et de sens contraires alors: \vec { u}. \vec { v} =-\left| \vec { u} \right| \times \left| \vec { v} \right|
6 Si les vecteurs \vec { u} et\vec { v} sont perpendiculaires alors: \vec { u}. \vec { v} =\quad 0
III- Projection
Soit deux vecteurs \vec { AB} et\vec { CD}. Produit scalaire : Cours-Résumés-Exercices corrigés - F2School. On appelle K et H les projections orthogonales respectives de C et D sur la droite AB, on a alors:
\vec { AB}. \vec { CD\quad =} \quad AB\quad \times \quad KH si \vec { AB} et\vec { KH} sont de même sens
\vec { AB}.
Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)
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