Pour arriver au chapitre concernant les séries de Fourier, il faudra cependant faire un petit chemin qui nous y amènera de façon moins abrupte. Comme nous l'avons écrit plus haut, nous rappellerons la structure de R, puis la notion de suites dans R ou C. Nous considèrerons ensuite les séries dans leur généralité, puis les suites et séries de fonction, pour ensuite passer aux séries entières, aux fonctions développables en séries entière et enfin les séries de Fourier. Nous pourrons alors résoudre quelques équations différentielles à l'aide de cette théorie. L'objectif de la deuxième partie du cours sera de résoudre des équations différentielles à l'aide des transformées de Laplace. Séries numériques problèmes corrigés des épreuves. Cet outil mathématique ne pourra s'appliquer rigoureusement sans un petit travail préliminaire sur les intégrales dépendant d'un paramètre. Une fois ces concepts assimilés, vous serez en possession d'outils solides pour résoudre plusieurs types d'équations différentielles et équations aux dérivées partielles mais également des problèmes un peu plus théoriques.
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Pour réussir en maths au lycée et en prépa
cos
sin
pi
e
tan
arcsin
3. 141592654
La série harmonique. Voici un topo sur la série harmonique
et la constante d'Euler. On y utilise beaucoup les théorèmes de sommation
des relations de comparaison. La formule de Stirling. Voici un topo sur la formule de Stirling. On y utilise beaucoup aussi les théorèmes de sommation des relations de
comparaison et le théorème comparant les convergences de la suite de terme
général u n et la série de terme général
u n+1 -u n. Calcul de ζ(2). Séries numériques problèmes corrigés de mathématiques. Voici un calcul de ζ(2). Dans ce calcul, on redémontre le lemme de Lebesgue. Site
Pour la classe de Math Spé, ce site contient:
9 chapitres de cours,
345 énoncés de problèmes de concours,
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24 topos sur des thèmes classiques
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23 planches d'exercices et 23 corrigés. Si ce site vous a plu, encouragez-le.
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Matrices compagnons 7, 392 Endomorphismes cycliques 7, 089 Exercice: étude d'une application linéaire dans C[X] puis C_3[X] 6, 843 Corrigé: endomorphismes cycliques. Matrices compagnons 6, 777 Corrigé: polynômes de Tchebychev 6, 706 Deux petits problèmes sur les matrices 6, 648 Corrigé: matrices de transvections et automorphismes de l'algèbre L(E) 6, 439 Racine carrée d'un endomorphisme 6, 117 Le crochet de Lie (bis) 6, 072
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a) On note si,
Montrer que vérifie:
b) Montrer que converge. Question 2
Utiliser la première question, pour montrer que si la suite est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle, est convergente. Question 3
a) Montrer que, la série de terme général converge. b) Montrer que pour tout et, les séries de termes généraux et convergent. c) Montrer que si et, la série de terme général ne converge pas absolument. (on pourra comparer et). Exercices et problèmes – Laurent Kaczmarek. Corrigé de l'exercice sur la transformation d'Abel:
a) On peut aussi raisonner par récurrence ou démontrer comme ici entièrement la formule. Si,. On a utilisé si et..
(avec). Soit
b) Soit tel que pour tout,, donc (produit d'une suite bornée et d'une suite qui converge vers 0). Soit. est la somme partielle d'ordre de la série de terme général avec. Comme la suite de terme général converge, la série de terme général converge, donc la série de terme général converge absolument, on en déduit que la suite converge. Donc la suite converge par somme de deux suites convergentes.
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on définit la suite par
et si. Donner une CNS sur pour que la suite converge. Corrigé de l'exercice:
Par une récurrence simple,,
La suite est strictement croissante. Si la suite converge vers, comme, on en déduit que. La série de terme général converge, donc la série de terme général converge. Puis, la série de terme général converge. Si converge, en écrivant puisque et:, la série de terme général converge par domination, donc la suite converge. Conclusion: la suite converge ssi converge. 3. Comparaison avec une intégrale
Soit et si,. On note, montrer que. On note: [1, [,. est décroissante. Étude de séries numériques - Les classes prépas du Lycée d'Arsonval. Si, pour tout,,
en intégrant sur,
alors si,
Soit, si, on somme pour, on obtient:
puis par la relation de Chasles,
avec
(). Donc
Lorsque tend vers, on obtient
Donc par multiplication par:
Par encadrement,
4 – Transformation d' Abel
Question 1
Soient et deux suites telles que:
la suite est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle
la suite est une suite de complexes telle que si l'on note, pour,, la suite est bornée.
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Corrigé de l'exercice 3:
Si,, donc diverge grossièrement. Si,, donc alors diverge par minoration par une série divergente. Si, soit. et
donc. Par encadrement, la suite converge vers 1, alors. Donc converge par équivalence à une série de Riemann convergente. Exercice 4
Nature de la série de terme général. Corrigé de l'exercice 4:. En utilisant le développement limité de à l'ordre 2 en 0, il est important que le terme complémentaire soit un O, pour ne pas devoir écrire le DL à l'ordre 3:
et comme et
La série de terme général converge par le théorème spécial des séries alternées. La série de terme général converge absolument par domination. Donc par somme, converge. D'autres cours en ligne de Maths en PC, des cours en ligne de MP en Maths et aussi des cours en ligne de Maths en PSI sont consultables gratuitement afin de permettre à tous les étudiants en Maths Spé de pouvoir progresser et/ou se remettre à niveau rapidement. Séries numériques problèmes corrigés enam. 2. Comparaison suite-série
Soit une suite de réels strictement positifs.
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