Raisonnement par récurrence
Soit P(n) l'énoncé "pour tout n entier ≥ 0, on a 1 ≤ u n ≤ 3" dont on veut démontrer qu'il est vrai pour tout entier ≥ 0. * P(0) est vrai, car nous avons 1 ≤ u 0 = 1 ≤ 3
** Soit n entier ≥ 0 tel que P(n) soit vrai, c'est-à-dire par hypothèse on ai 1 ≤ u n ≤ 3 pour tout n ≥ 0
P(n+1) est-il vrai? Demontrer qu une suite est constante tv. c'est-à-dire a-t-on 1 ≤ u n+1 ≤ 3? par définition on sait que: u n+1 = u n ÷ 3 + 2
d'où
1 ≤ u n ≤ 3
1/3 ≤ u n ÷ 3 ≤ 1
7/3 ≤ u n ÷ 3 + 2 ≤ 3
d'où l'on déduit:
1 ≤ 7/3 ≤ u n+1 ≤ 3 donc P(n+1) est vrai. Conclusion P(n) est vrai pour tout entier ≥ 0 et donc la suite (u n) n≥0 est bien minorée par 1 et majorée par 3.
Demontrer Qu Une Suite Est Constante Tv
Une suite géométrique est une suite numérique particulière. Elle est étudiée en première générale option spé maths ainsi qu'en première technologique. Sur cette page, je vous propose un résumé de cours sur les suites géométriques et les formules essentielles qui leur sont associées. Et, en bas de page, je t'explique quelles sont les situations modélisées par une suite géométrique. Demontrer qu une suite est constante des. La limite d'une suite géométrique et les variations sont des thèmes traités dans des cours séparés. Définition des suites géométriques
Une suite $(U_n)$ est une suite géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$: $U_{n+1}=q \times U_n$ Dans la formule, on appelle $q$ la raison de la suite et l'égalité $U_{n+1}=q \times U_n$ est la relation de récurrence de la suite. En termes clairs, une suite géométrique est une suite pour laquelle on passe d'un terme à un autre en multipliant toujours par une même valeur, la raison. Cette raison est un réel et peut dont être n'importe quelle valeur positive ou négative.
Dès lors qu'une suite est majorée, il existe une infinité de majorants (tous les réels supérieurs à un majorant quelconque). Suite minorée
Une suite u est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n,. Le réel m est appelé un minorant de la suite. 👍 COMMENT DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST CROISSANTE AVEC RÉCURRENCE ? - YouTube. Dès lors qu'une suite est minorée, il existe une infinité de minorants (tous les réels inférieurs à un minorant quelconque). Suite bornée
Une suite u est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Dans ce cas, il existe des réels M et m tels que pour tout entier naturel n,. Caractère borné [ modifier | modifier le code]
u est bornée si et seulement s'il existe un réel K tel que pour tout entier naturel n, (il suffit de prendre pour K la valeur absolue de celui de M et m qui est le plus grand en valeur absolue:). Conséquence:
Pour démontrer qu'une suite u est bornée, il suffit de montrer que la suite (| u n |) est majorée. La suite u définie par: pour tout entier naturel n, est majorée par 1 mais n'est pas minorée;
La suite v définie par: pour tout entier naturel n, est minorée par 0 mais n'est pas majorée;
La suite w définie par: pour tout entier naturel non nul n, est bornée (son plus grand terme est, c'est aussi le plus petit des majorants; elle n'a pas de plus petit terme car elle est strictement décroissante, mais le plus grand des minorants est 0, c'est aussi sa limite).
Demontrer Qu Une Suite Est Constante Un
Conclusion
Pour tout entier naturel n n: u n + 1 < u n u_{n+1} < u_n donc la suite ( u n) (u_n) est strictement décroissante. Exemple 5
Soit la suite ( u n) (u_n) définie par u 0 = 0 u_0=0 et pour tout entier naturel n n: u n + 1 = u n 3 + u n − 1 u_{n+1}=u_n^3+u_n - 1. Etudier le sens de variation de la suite ( u n) (u_n). Le calcul des premiers termes ( u 0 = 0 u_0=0, u 1 = − 1 u_1= - 1, u 2 = − 3 u_2= - 3) laisse présager que la suite ( u n) (u_n) est strictement décroissante. u 0 = 0 u_0=0 et u 1 = − 1 u_1= - 1.
u 1 < u 0 u_1 < u_0 donc la propriété est vraie au rang 0. Posons f ( x) = x 3 + x − 1 f(x)=x^3+x - 1 pour tout x ∈ R x \in \mathbb{R}. Alors: f ′ ( x) = 3 x 2 + 1 f^\prime (x) = 3x^2+1 est strictement positif pour tout réel x x donc la fonction f f est strictement croissante sur R \mathbb{R}. Suite géométrique et suite constante - Annales Corrigées | Annabac. u n + 1 < u n ⇒ f ( u n + 1) < f ( u n) u_{n+1} < u_n \Rightarrow f(u_{n+1}) < f(u_n) puisque f f est strictement croissante! Pour tout entier naturel n n: u n + 1 < u n u_{n+1} < u_n donc la suite ( u n) (u_n) est strictement décroissante.
Si 0 < q < 1, on a pour tout n ≥ 0, 0 < u n+1 / u n < 1 alors la suite est strictement décroissante. Si q = 1, on a pour tout n ≥ 0 u n+1 / u n = 1 alors la suite est constante. Exemple important:
Soit q un réel fixé non nul, et la suite définie par u n = (q n) n≥0 nous avons alors:
Si q > 1 alors la suite est strictement croissante. Si 0 < q < 1 alors la suite est strictement décroissante. Si q = 1 alors la suite est constante. Si q < 0 la suite n'est pas monotone. Exercice 1:
Etudier la monotonie de la suite U = (u n) n≥0 définie par u n = 20 n / n. Pour tout n > 0, on a u n > 0. Comparons u n+1 / u n à 1
Pour tout n > 0, u n+1 / u n = (20 n+1 / n+1) × (n / 20 n) = 20n / n+1
Pour tout n entier ≥ 1, u n+1 / u n ≤ 1 ⇔ 20n ≤ n+1 ⇔ 19n ≤ 1 ⇔ n ≤ 1/19
Or c'est impossible car n ≥ 1, donc on a pour tout n > 0, u n+1 / u n > 1, donc la suite est strictement croissante. Demontrer qu une suite est constante un. Exercice 2:
Soit la suite U = (u n) n≥0 définie par u n = n! / 10, 5 n. Nous rappelons que pour tout n >0, n! = n × n−1 × n−2 ×... × 2 × 1 et 0!
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