Introduction à la FFT et à la DFT ¶
La Transformée de Fourier Rapide, appelée FFT Fast Fourier Transform en anglais, est un algorithme qui permet de calculer des Transformées de Fourier Discrètes DFT Discrete Fourier Transform en anglais. Parce que la DFT permet de déterminer la pondération entre différentes fréquences discrètes, elle a un grand nombre d'applications en traitement du signal, par exemple pour du filtrage. Par conséquent, les données discrètes qu'elle prend en entrée sont souvent appelées signal et dans ce cas on considère qu'elles sont définies dans le domaine temporel. Les valeurs de sortie sont alors appelées le spectre et sont définies dans le domaine des fréquences. Analyse fréquentielle d'un signal par transformée de Fourier - Les fiches CPGE. Toutefois, ce n'est pas toujours le cas et cela dépend des données à traiter. Il existe plusieurs façons de définir la DFT, en particulier au niveau du signe que l'on met dans l'exponentielle et dans la façon de normaliser. Dans le cas de NumPy, l'implémentation de la DFT est la suivante:
\(A_k=\sum\limits_{m=0}^{n-1}{a_m\exp\left\{ -2\pi i\frac{mk}{n} \right\}}\text{ avec}k=0, \ldots, n-1\)
La DFT inverse est donnée par:
\(a_m=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{A_k\exp\left\{ 2\pi i\frac{mk}{n} \right\}}\text{ avec}m=0, \ldots, n-1\)
Elle diffère de la transformée directe par le signe de l'argument de l'exponentielle et par la normalisation à 1/n par défaut.
Exemples simples ¶
Visualisation de la partie réelle et imaginaire de la transformée ¶
import numpy as np
import as plt
n = 20
# definition de a
a = np. zeros ( n)
a [ 1] = 1
# visualisation de a
# on ajoute a droite la valeur de gauche pour la periodicite
plt. subplot ( 311)
plt. plot ( np. append ( a, a [ 0]))
# calcul de A
A = np. fft. fft ( a)
# visualisation de A
B = np. append ( A, A [ 0])
plt. subplot ( 312)
plt. real ( B))
plt. ylabel ( "partie reelle")
plt. subplot ( 313)
plt. Transformation de Fourier, FFT et DFT — Cours Python. imag ( B))
plt. ylabel ( "partie imaginaire")
plt. show ()
( Source code)
Visualisation des valeurs complexes avec une échelle colorée ¶
Pour plus d'informations sur cette technique de visualisation, voir Visualisation d'une fonction à valeurs complexes avec PyLab. plt. subplot ( 211)
# calcul de k
k = np. arange ( n)
# visualisation de A - Attention au changement de variable
plt. subplot ( 212)
x = np. append ( k, k [ - 1] + k [ 1] - k [ 0]) # calcul d'une valeur supplementaire
z = np. append ( A, A [ 0])
X = np.
0/T
plot(freq, spectre, 'r. ') xlabel('f')
ylabel('S')
axis([0, fe, 0, ()])
grid()
return tfd
Voyons le spectre de la gaussienne obtenue avec la TFD superposée au spectre théorique:
T=20. 0
fe=5. 0
figure(figsize=(10, 4))
tracerSpectre(signal, T, fe)
def fourierSignal(f):
return ()*(**2*f**2)
f = (start=-fe/2, stop=fe/2, step=fe/100)
spectre =np. absolute(fourierSignal(f))
plot(f, spectre, 'b')
axis([-fe/2, fe, 0, ()])
L'approximation de la TF pour une fréquence négative est donnée par:
La seconde moitié de la TFD () correspond donc aux fréquences négatives. Lorsque les valeurs du signal sont réelles, il s'agit de l'image de la première moitié (le spectre est une fonction paire). Dans ce cas, l'usage est de tracer seulement la première moitié. Pour augmenter la résolution du spectre, il faut augmenter T. Il est intéressant de maintenir constante la fréquence d'échantillonnage:
T=100. Transformée de fourier python powered. 0
axis([0, fe/2, 0, ()])
2. b. Exemple: sinusoïde modulée par une gaussienne
On considère le signal suivant (paquet d'onde gaussien):
avec.
On note pour la suite X(f) la FFT du signal x_e(t). Il existe plusieurs implantations dans Python de la FFT: pyFFTW Ici nous allons utiliser pour calculer les transformées de Fourier. FFT d'un sinus ¶ Création du signal et échantillonnage ¶ import numpy as np
import as plt
def x ( t):
# Calcul du signal x(t) = sin(2*pi*t)
return np. sin ( 2 * np. pi * t)
# Échantillonnage du signal
Durée = 1 # Durée du signal en secondes
Te = 0. 1 # Période d'échantillonnage en seconde
N = int ( Durée / Te) + 1 # Nombre de points du signal échantillonné
te = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons
t = np. linspace ( 0, Durée, 2000) # Temps pour le signal non échantillonné
x_e = x ( te) # Calcul de l'échantillonnage
# Tracé du signal
plt. scatter ( te, x_e, color = 'orange', label = "Signal échantillonné")
plt. plot ( t, x ( t), '--', label = "Signal réel")
plt. grid ()
plt. Transformée de Fourier. xlabel ( r "$t$ (s)")
plt. ylabel ( r "$x(t)$")
plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$)")
plt. legend ()
plt.
Objectifs éducatifsNOMS DE BASE SUR LES RÉSEAUX LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES LATÈMES 4A1 Fournir la définition d'un réseau4A1. 1 Définir le concept d'un réseau4A2 Définir le concept d'un réseau4A2 Connaître les paramètres de configuration requis pour connecter un réseau4Rechercher le réseau Trouver le réseau Trouver le réseau Trouver le réseau Fonctions pour modifier un Périodique4B3. 1. - Ajouter des illustrations graphiques à un texte4B3. Ajouter plusieurs colonnes dans un document4B3. 3. Utiliser les fonctions Word Art4B4B5 - Former un tableau4B7. - Données de type. Formater les données. Largeur et Hauteur. Propriétés des cellules. (couleur, bordures, 4B7. 4ème | Superprof. 2). - Mettez en place une table. Format: - Largeur et Hauteur. Fiches de cours les plus recherchées
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epreuve informatique Classe de 4ème sequence 3 2019 LYCEE DE TOURNINGAL
qm bkhtyr mn lqy'm@ ltly@: –Bac– Bac Mathematiques Bac Sc.
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