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Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. On a vu au chapitre 1 une mise en équation locale du phénomène de transfert de chaleur dans un corps. Loi de Fourier : définition et calcul de déperditions - Ooreka. Cette approche ne traitait qu'une partie des questions liées à cette mise en équation. On traitera ici un cas plus général. Le système considéré, de volume V et de surface externe Σ, est indéformable. Nous sommes dans un cas de conduction pure, aucun transfert d'énergie ne se produisant par déplacement de matière:
pas de convection;
chaleur massique en J/kg/K;
masse volumique:.
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Supposons λ = 0. Il existe alors de même des constantes réelles B, C telles que X ( x) = Bx + C. Une fois encore, les conditions aux limites entraînent X nulle, et donc T nulle. Il reste donc le cas λ > 0. Il existe alors des constantes réelles A, B, C telles que
Les conditions aux limites imposent maintenant C = 0 et qu'il existe un entier positif n tel que
On obtient ainsi une forme de la solution. Equation diffusion thermique analysis. Toutefois, l'équation étudiée est linéaire, donc toute combinaison linéaire de solutions est elle-même solution. Ainsi, la forme générale de la solution est donnée par
La valeur de la condition initiale donne:
On reconnait un développement en série de Fourier, ce qui donne la valeur des coefficients:
Généralisation [ modifier | modifier le code]
Une autre manière de retrouver ce résultat passe par l'application de théorème de Sturm-Liouville et la décomposition de la solution sur la base des solutions propres de la partie spatiale de l'opérateur différentiel sur un espace vérifiant les conditions aux bords.
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Les grandeurs ρ et C sont également dépendantes de T, mais ne sont pas dérivées spatialement. On écrit donc:
L'équation de la chaleur devient:
Équation de la chaleur avec thermodépendance:
Sans la thermodépendance on a:
On pose: (a diffusivité en
Équation linéaire de la chaleur sans thermodépendance:
Autre démonstration de l'équation en partant d'un bilan énergétique Écrivons le bilan thermique d'un élément de volume élémentaire d x d y d z en coordonnées cartésiennes, pour un intervalle de temps élémentaire d t.
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Problèmes inverses [ modifier | modifier le code]
La solution de l'équation de la chaleur vérifie le principe du maximum suivant:
Au cours du temps, la solution ne prendra jamais des valeurs inférieures au minimum de la donnée initiale, ni supérieures au maximum de celle-ci. Equation diffusion thermique force. L'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles stable parce que des petites perturbations des conditions initiales conduisent à des faibles variations de la température à un temps ultérieur en raison de ce principe du maximum. Comme toute équation de diffusion l'équation de la chaleur a un effet fortement régularisant sur la solution: même si la donnée initiale présente des discontinuités, la solution sera régulière en tout point de l'espace une fois le phénomène de diffusion commencé. Il n'en va pas de même pour les problèmes inverses tels que:
équation de la chaleur rétrograde, soit le problème donné où on remplace la condition initiale par une condition finale du type;
la détermination des conditions aux limites à partir de la connaissance de la température en divers points au cours du temps.
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Une variante de cette équation est très présente en physique sous le nom générique d' équation de diffusion. On la retrouve dans la diffusion de masse dans un milieu binaire ou de charge électrique dans un conducteur, le transfert radiatif, etc. Elle est également liée à l' équation de Burgers et à l' équation de Schrödinger [ 2].
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On obtient ainsi:
On obtient de la même manière la condition limite de Neumann en x=1:
2. f. Milieux de coefficients de diffusion différents
On suppose que le coefficient de diffusion n'est plus uniforme mais constant par morceaux. Exemple: diffusion thermique entre deux plaques de matériaux
différents. Soit une frontière entre deux parties située entre les indices j et j+1, les coefficients de diffusion de part et d'autre étant D 1 et D 2. Équation de la chaleur — Wikipédia. Pour j-1 et j+1, on écrira le schéma de Crank-Nicolson ci-dessus. En revanche, sur le point à gauche de la frontière (indice j), on écrit une condition d'égalité des flux:
qui se traduit par
et conduit aux coefficients suivants
2. g. Convection latérale
Un problème de transfert thermique dans une barre comporte un flux de convection latéral,
qui conduit à l'équation différentielle suivante:
où le coefficient C (inverse d'un temps) caractérise l'intensité de la convection et T e
est la température extérieure. On pose β=CΔt. Le schéma de Crank-Nicolson correspondant à cette équation est:
c'est-à-dire:
3.