Les formules de trigonométrie sont essentielles en maths, mais ce ne sont pas les seules! Les dérivées et les primitives des fonctions cosinus et sinus sont aussi très utilisées (dans le domaine de la physique et des mathématiques)! Quand on lit les formules des dérivées et des primitives, elles ont l'air simple comme ça; mais elles le sont déjà moins quand il s'agit de les réécrire de mémoire! La seule solution est de les apprendre par cœur, mais sans astuce, on a tendance à se tromper dans les signes! C'est pourquoi JeRetiens vous propose une astuce mnémotechnique très imagée, mais aussi très efficace! Dérivées:
La dérivée de cosinus est égale à un sinus négatif, et la dérivée de sinus est égale à un cosinus positif. (cosinus)' = – sinus ce qui donne: ( cos(x))' = – sin(x)
(sinus)' = cosinus ce qui donne: ( sin(x))' = cos(x)
Astuce pour la Dérivée:
Pour l'astuce, on se concentre uniquement sur la dérivée de cosinus, car la dérivée de sinus est simple, il suffit de transformer le sinus en cosinus.
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Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques
Introduction
Cet article expose les fonctions trigonométriques circulaires, hyperboliques, directes et réciproques (24 fonctions au total), avec l'ensemble de définition, la dérivée et la primitive de chacune d'entres elles. Comme pour tous les articles mathématiques du site la vulgarisation mathématique permet ici d'expliquer avec des mots et des notions simples (de niveau BAC) des résultats qui demandent en principe un niveau bien supérieur. Retour en haut de la page
Les relations de base entre les fonctions trigonométriques
Les 3 fonctions de base sont le sinus, le cosinus et la tangente.
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Pour certaines fonctions il existe d'autres primitives qui s'écrivent différemment de celle donnée ici: la primitive n'est pas toujours unique, et peut parfois s'écrire sous une autre forme (c'est le cas notamment pour les primitives de sec(x) et de cosec(x)). Les tableaux ci-dessous vous donnent donc une seule primitive parmi d'autres. Dérivées et primitives des 6 fonctions circulaires directes:
Démonstration de la primitive de cosec(x) et de sec(x) en utilisant le changement de variable
On recherche la primitive F(x) de cosec(x)=1/sin(x):
On effectue le changement de variable u=cos(x):
Après ce changement de variable la primitive F(x) recherchée devient:
On en déduit la primitive de cosec(x), c'est-à-dire la primitive de 1/sin(x):
La procédure est la même pour trouver la primitive de la sécante, en posant cette fois comme changement de variable u=-sin(x). On en déduit alors la primitive de sec(x), c'est-à-dire la primitive de 1/cos(x):
Dérivées et primitives des 6 fonctions circulaires réciproques:
Démonstration de la primitive de arctan(x) et de arcsin(x) en utilisant l'intégration par parties
Dérivées et primitives des 6 fonctions hyperboliques directes:
Dérivées et primitives des 6 fonctions hyperboliques réciproques:
Les 6 primitives se retrouvent en utilisant l'intégration par parties
Démonstration de la dérivée de argcosech(x):
Soit f une fonction.
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L'objectif est de savoir étudier des fonctions par le calcul de dérivées et de primitives afin de résoudre des problèmes divers (mouvement uniforme accéléré,... )
Cours
Notion 1: La dérivation
Notion 2: Les primitives
Synthèse de cours: Fichier
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Contrôles
Contrôle 1: Sujet A + Sujet B + Corrigé sujet A + Corrigé sujet B
Contrôle 2: Sujet + Corrigé
Si F est une primitive de f, alors pour tout, F + c est aussi une primitive de f. Opérations et primitives usuelles Propriété: • Si F et G sont des primitives respectivement des fonctions f et g sur un intervalle I, alors F + G est une primitive de f + g sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur un intervalle I, et c un réel, alors c × F est une primitive de c × f sur I. On a le tableau des primitives usuelles suivant: Un cours à regarder « Primitive d'une fonction. Primitives d'une fonction. C'est quoi? » Cette vidéo vous permet de comprendre rapidement le lien entre les primitives et les dérivées des fonctions. On voit également pourquoi il existe plusieurs primitives pour une même fonction. Un exemple concret est fourni pour comprendre comment trouver ces primitives. Cette vidéo est à mettre en lien avec les propriétés vues dans le cours pour vous aider à résoudre tous les exercices d'analyse dans lesquels vous aurez besoin d'une primitive. VI. Qu'est-ce qu'une équation différentielle?
Table des dérivées
Dans les tableaux ci-dessous, je suppose que les fonctions sont continues sur le domaine de validité et qu'elles admettent une dérivée. Fonctions usuelles
Fonction
Dérivée
Domaine de validité
Remarque
\( x^n \)
\( nx^{n-1} \)
\( \mathbb{R} \)
\( n \in \mathbb{Z} \)
\( \dfrac{1}{x}\)
\( \dfrac{- 1}{x^2}\)
\( \mathbb{R}^* \)
\( \sqrt(x) \)
\( \dfrac{1}{2 \sqrt(x)} \)
\( [0; +\infty[\)
\( \ln(|x|)\)
\( \dfrac{1}{x} \)
\(]0; +\infty[\)
\( \sin(x)\)
\( \cos(x) \)
\( -\sin(x) \)
\( \exp(mx) \)
\( m\exp(mx) \)
\( m \in \mathbb{R} \)
Fonctions composées
Les fonctions u et v sont dérivables sur le même intervalle de définition. \( uv \)
\(u'v + uv' \)
\( \dfrac{1}{u}\)
\( \dfrac{- u'}{u^2}\)
\( u \in]-\infty;0[\) ou \(]0; +\infty[\)
\( \dfrac{u}{v}\)
\( \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
\( v \in]-\infty;0[\) ou \(]0; +\infty[\)
\( u^n \)
\( nu^{n-1}u'\)
\( \sqrt(u)\)
\( \dfrac{1}{2} \dfrac{u'}{\sqrt(u)}\)
\( u \in [0; +\infty[\)
\( \ln(u)\)
\( \dfrac{u'}{u}\)
\( u \in]0; +\infty[\)
\( \exp(u)\)
\( u'\exp(u)\)
\( f(u)\)
\( f'(u)u'\)
Table des primitives
Dans les tableaux ci-dessous, je suppose que les fonctions sont continues sur le domaine de validité et qu'elles admettent une primitive.
Nicole Croisille - La quête "Rêver un impossible rêve" - YouTube
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BYE BYE MACADAM:: LES POINGS CONTRE LES MURS:: Communiquer Partagez Auteur Message Oscar. Invité Sujet: rêver un impossible rêve Mer 4 Fév - 17:26 Salut, salut! J'viens poster ici, j'sais même pas trop pourquoi en fait, j'imagine que j'ai besoin d'être convaincue par quelqu'un d'autre que mon tendre moi-même pour m'inscrire tout à fait! Okay, ceci étant dit, faut qu'j'vous raconte un peu ma vie, cause que j'ai deux trois questions à poser, voyez, et c'est mieux quand c'est contextualisé. J'sais même pas pourquoi j'fais une rechute de RPG, j'crois que c'est à cause du syndrome de la page blanche, de la merde et tout dans ma tête en ce moment, je me cherche une sorte de psychanalyse par les mots, un truc que j'peux trouver nulle part. Rêver un impossible rêve paroles et traductions. J'ai b'soin de poésie, de rêve, de fuir un peu la sombre omniprésence de la classe préparatoire. Du coup, je recherche de l'intense à court terme je crois. Genre un lien foutument fort, mais qui peut-être s'éteindra du jour au lendemain.
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Le rêve, l'ultime liberté,
Parfois trop grand, trop vaste,
…il fait peur,
Quitter ses habitudes, ses chaînes, ses servitudes,
Ces habitudes qui nous étouffent, qui nous rassurent. Alors, on se replie,
On se cache la tête,
On place ses pieds, ses mains,
Comme des barreaux,
Pour pouvoir dire…
…vous voyez, c'est impossible, …un rêve,
…ce n'était qu'un impossible rêve. Thèmes connexes
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La nuit derrière j'ai rêvé que je marchais à nouveau. J'ai rêvé que mon corps était entièrement fonctionnel comme à l'époque révolue où il m'appartenait encore. Je jouissais de chaque mouvement, de chaque sensation. Je sentais la pelouse fraîche sous mes orteils et les pierres du patio que Jocelyn et moi avons installées lorsque nous avons refait la cour extérieure. Je pouvais aisément bouger chacune des parties de mon corps sans avoir l'impression de soulever d'énormes pierres. Je me sentais tellement libre et légère que même en rêve, j'avais les yeux dans l'eau. Je ne sais pas par quel miracle j'avais retrouvé mon corps mais je me souviens de ce sentiment d'euphorie et de bonheur qui m'habitait. Un sentiment intense de gratitude. Brel : Rêver un impossible rêve. Dans mon rêve, je pouvais parler. Je me suis mise à chanter à pleins poumons. Je riais, je pleurais, je me sentais enfin délivrée de la SLA. Je me suis étendue sur le gazon et j'ai regardé la cime des arbres en pleurant; infiniment reconnaissante de ce qui m'arrivait.
Pour prolonger le plaisir musical:
Voir la vidéo de «La Quête»