(2. 47)
4. 3 Estimation par le filtre de Kalman-Bucy 63
Notons:
α(i) = k − max{i − m, k}pour i ∈ {m + 1,..., k}. (2. 48)
Après k ≥ m échantillons empilés, en appliquant les récurrences (2. 46) initialisées par (2. 47), on
peut obtenir l'estimation suivante:
Θk=
Pk
i=m+1λα(i)XiYi
i=m+1λα(i)Xi2, (2. 49)
avec Kk =
Xk
i=m+1λα(i)Xi2
et Pk =
σ% 2
i=m+1λα(i)Xi2. 50)
4. 1 Analyse de la variance
Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à l'analyse de la variance de l'estimateur donné
par la relation (2. 49), dans le but de trouver la trajectoire de référence u(t), à savoir les valeurs
de (A1)optet (ω1)opt, qui permettent de minimiser la variance de (2. Système masse ressort amortisseur 2 del sol. 49). Dans ce cas, la valeur
de (ω1)optest étudiée en fonction de la pulsation optimale Zopt =
(ω1)opt
ω0. L'expérience montre
que pour des systèmes industriels, les structures sont très faiblement amorties. Ainsi, en vue de
simplifier l'étude de variance, le paramètre θ1 = 2ζω0est supposé nul. Cette hypothèse permettra
de simplifier l'étude de la variance du filtre de Kalman-Bucy.
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Système Masse Ressort Amortisseur 2 Del Sol
01: Dynamique linéaire des systèmes discrets
Copyright 2015 EDF R&D - Document diffusé sous licence GNU FDL ()
1
Problème de référence
1. 1
Géométrie
U2
U1
k
m
P1
P2
P3
P8
c
B
m P =mP =mP =… …=m P =m
Masses ponctuelles:
2
3
8
Raideurs de liaison:
k AP1 =k P1P2=k P2P3 =… …=k P8B =k
Amortissements visqueux:
c AP1=c P1P2 =c P2P3=… …=c P8B =c
Propriétés de matériaux
Ressort de translation élastique linéaire
Masse ponctuelle
Amortissement visqueux unidirectionnel
1. 3
U8
A
1. 2
U3
x, u
Date: 03/08/2011 Page: 2/6
k =105 N / m
m=10 kg
c=50 N /m/ s
Conditions aux limites et chargements
Point
A et B: encastrés ( u= 0)
Spectre d'accélération aux appuis
Points
ü f, a normé à 1. m s−2
A et B: ü=ü f, a
ms–2
25
0. 5%
5%
10
13
33
fréquence (Hz)
Date: 03/08/2011 Page: 3/6
Solution de référence
2. 1
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
Comparaison avec d'autres codes. 2. 2
Résultats de référence
Accélération absolue selon
x aux points A, P1, P2, P3, P4. Modélisation A
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Caractéristiques de la modélisation
Date: 03/08/2011 Page: 4/6
y
P
4
5
6
7
x
Caractéristiques des éléments:
avec masses nodales
et matrices de rigidité
et matrices d'amortissement
DISCRET
M_T_D_N
K_T_D_L
A_T_D_L
Conditions limites:
en tous les nœuds
aux nœuds extrémités
DDL_IMPO
( TOUT='OUI'
( GROUP_NO =
DY = 0., DZ = 0. )
ressort-amortisseur, il est défini par l'équation suivante:
M ¨x(t) + D ˙x(t) + Kx(t) = F (t), (2. 43)
où M désigne la masse de la charge en déplacement, D le coefficient d'amortissement et K la
constante de raideur du ressort tandis que F (t) représente la force appliquée. Pour simplifier
l'équation, nous définissons deux paramètres: la pulsation propre du système ω0 =
r
K
M et le
taux d'amortissement ζ = D
2√KM. Nous écrivons alors:
¨
x(t) + 2ζω0x(t) + ω˙ 02x(t) = u(t), (2. 44)
où u(t) = F (t)
M. Dans la suite, on prend θ1= 2ζω0 et θ2 = ω
2
0 les paramètres inconnus. Cette pro-
cédure d'identification sera couplée à la problématique de conception d'une entrée sinusoïdale
optimisée du système (2. 44) permettant de garantir la meilleure convergence paramétrique dans
le cas où l'entrée est égale à u(t) = A1sin(ω1t). En effet, dans les paragraphes §4. Système masse ressort amortisseur 2 ddl 3. 3. 1et §4. 3
nous étudions la conception d'entrée optimale d'estimation paramétrique. Le problème d'entrée
optimale est formulé en tant que problème d'optimisation convexe basé sur les statistiques
du signal d'entrée [Wahlberg et al., 2010, 2012].
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