il est défini positif: $\vec u\cdot \vec u\geq 0$ avec égalité si et seulement si $\vec u=\overrightarrow 0$. On emploie parfois d'autres expressions du produit scalaire, comme celle avec les angles (on utilise toujours les mêmes
notations)
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=AB\times CD\times\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}}\right)$$
ou celle avec les coordonnées: si dans un repère orthonormé du plan, les coordonnées respectives de
$\vec u$ et $\vec v$ sont $(x, y)$ et $(x', y')$, alors:
$$\vec u\cdot \vec v=xx'+yy'. Produit scalaire canonique et. $$
Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité: les droites
$(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales si, et seulement si,
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0. $$
En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation
$$AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}. $$
C'est aussi un outil fondamental en physique: si une force $\vec F$ déplace
un objet d'un vecteur $\vec u$, le travail effectué par cette force vaut
$$W=\vec F\cdot \vec u.
Produit Scalaire Canonique Et
Produit scalaire
suivant: Notion d'angle
monter: Espace euclidien
précédent: Espace euclidien
Table des matières
Index
Définition 4. 1
Soit un espace vectoriel
sur
Un produit scalaire sur est une
une forme bilinéaire sur symétrique et définie-positive,
c'est à dire que
vérifie les trois propriétés suivantes:
i) est linéaire à gauche
ii) est symétrique
iii) est défini-positive
Remarquer que i) et ii) implique que est aussi
linéaire à droite
Un espace vectoriel sur de dimension finie,
muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien,
on le note
On adoptera les notations suivantes
pour un produit scalaire
ou
Le produit scalaire canonique sur
est donné par
Remarque 4. 2
Si un espace vectoriel
un produit scalaire sur est une fonction
vérifiant les trois propriétés suivantes:
ii) est hermitienne
Remarquer que i) et ii) implique que est semi-linéaire
à droite
muni d'un produit scalaire est appelé espace hermitien,
Si on prend les notations des physiciens,
le produit scalaire
Dans la suite, nous allons établir des résultats sur
les espaces vectoriels euclidiens.
Démontrer que $\langle u, v\rangle\in]-1, 1[$. Démontrer que $D_1=D_2^{\perp}$. Soit $x=\alpha u+\beta v$ un vecteur de $E$. Calculer $d(x, D)^2$ et $d(x, D')^2$ en fonction de $\alpha, \beta, u$ et $v$. Démontrer que $d(x, D)=d(x, D')\iff x\in D_1\cup D_2$. On suppose que $x$ est non nul. Démontrer que $x\in D_1$ si et seulement si
$\cos\big(\widehat{(u, x)}\big)=\cos\big(\widehat{(v, x)}\big). Produit scalaire. $
En déduire le résultat annoncé au début de l'exercice.
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