En mathématiques du collège [ 1] ou du début du lycée [ 2], une équation produit nul [ 1] ou plus simplement équation produit [ 3] est une équation dont un membre est un produit et l'autre membre est égal à zéro. Comme un produit de plusieurs nombres est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, résoudre une équation produit nul revient à résoudre les équations obtenues en égalant chacun des facteurs du produit à 0, et les solutions de toutes ces équations sont les solutions de l'équation produit initiale. Exemple [ modifier | modifier le code]
L'équation x ( x − 6) = 0 est une équation produit, elle est équivalente à x = 0 ou x − 6 = 0, et a donc deux solutions, 0 et 6. Principe [ modifier | modifier le code]
La propriété qui permet de simplifier la résolution de l'équation produit nul, « un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul », se décompose en:
« si un au moins des facteurs d'un produit est nul, alors le produit est nul » (sens direct);
« si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul » (réciproque).
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Résoudre une équation-produit (2) - Seconde - YouTube
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On décompose un problème en sous-problèmes. Attention, cette technique ne s'applique qu'aux produits nuls. $A\times B=1$ n'est pas équivalent à $A=1 \qquad ou \qquad B=1$. En résumé,
on factorise si ce n'est pas déjà fait (après avoir regroupé tous les termes dans un même membre). on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$ et on résout ces deux dernières équations séparément. Un exemple en vidéo
D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile
Résoudre les équations suivantes. $(E_1): \qquad (3x-2)(x+4)=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_2): \qquad (1-x)(2-e^x)=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_3): \qquad e^{2x-4}(0, 5x-7)=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_4): \qquad (x-2)\ln(x)=0$ pour $x\gt 0$. Voir la solution
L'équation $(E_1)$ est bien une équation produit nul. $\begin{align}
(3x-2)(x+4)=0 & \Leftrightarrow 3x-2=0 \qquad ou \qquad x+4=0 \\
& \Leftrightarrow 3x=2 \qquad ou \qquad x=-4 \\
& \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \qquad ou \qquad x=-4
\end{align}$
L'équation $(E_1)$ admet deux solutions: $\frac{2}{3}$ et $-4$.
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Equations et inéquations Résoudre dans R \mathbb{R} les équations suivantes: ( 3 x + 4) ( 5 x − 10) = 0 \left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 Correction ( 3 x + 4) ( 5 x − 10) = 0 \left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0. Il s'agit d'une e ˊ quation produit nul. \text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul. }} 3 x + 4 = 0 3x+4=0 ou 5 x − 10 = 0 5x-10=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons 3 x + 4 = 0 3x+4=0 qui donne 3 x = − 4 3x=-4. D'où: x = − 4 3 x=-\frac{4}{3} D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 5 x − 10 = 0 5x-10=0 qui donne 5 x = 10 5x=10. D'où: x = 10 5 = 2 x=\frac{10}{5}=2 Les solutions de l'équation sont alors: S = { − 4 3; 2} S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\} ( x + 2) ( 4 x − 7) = 0 \left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0 Correction ( x + 2) ( 4 x − 7) = 0 \left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0. }} x + 2 = 0 x+2=0 ou 4 x − 7 = 0 4x-7=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons x + 2 = 0 x+2=0 qui donne x = − 2 x=-2. D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 4 x − 7 = 0 4x-7=0 qui donne 4 x = 7 4x=7.
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Dans cette équation $(E_4)$, il y a une erreur à ne pas commettre: diviser chacun des membres par $x$. En effet, cela aurait pour conséquence de perdre une solution... De façon générale, il vaut mieux éviter de diviser par des quantités pouvant s'annuler. On va donc transformer l'équation de sorte que l'inconnue apparaisse uniquement dans le membre de gauche puis, on factorisera. (E_4) & \Leftrightarrow x\ln(x+2)-x=0 \\
& \Leftrightarrow x(\ln(x+2)-1)=0
(E_4) & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)-1=0 \\
& \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)=1 \\
& \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e^1 \\
& \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e \\
& \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=e-2
L'équation $(E_4)$ admet deux solutions: $0$ et $e-2$. Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre:
(prochainement disponible)
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Placer les 0 dans le tableau. Placer les signes de chaque facteur, de part et
d'autre du 0. Compléter la dernière ligne en
appliquant la règle des signes pour chaque
colonne. Indiquer l'intervalle de solutions à
l'aide de la dernière ligne du tableau. Résoudre l'inéquation. Étape 1: on détermine la valeur de
qui annule chacun des
Étape 2: on construit un tableau de signes
avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l'ordre
croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne
pour le produit des deux facteurs. Étape 3: on place les 0 dans le
tableau, en utilisant l'étape 1.
s'annule pour et pour. Étape 4: on place les signes en
repérant le signe du coefficient de dans chacun des facteurs. Ici,
chaque coefficient est positif donc,
d'après le signe d'une fonction
affine, l'expression est négative avant le
0 et positive après le 0. Étape 5: on applique la règle
des signes par colonne. Étape 6: grâce à la
dernière ligne du tableau, on peut lire que
l'inéquation a pour ensemble de solutions:.
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