Il arrive fréquemment qu'on veuille ajuster un modèle théorique sur des points de données expérimentaux. Le plus courramment utilisé pour nous est l'ajustement d'un modèle affine \(Y = aX + b\) à des points expérimentaux \((x_i, y_i)\) (i allant de 1 à k). On veut connaître les valeurs de \(a\) et \(b\) qui donne une droite passant au plus près des points expérimentaux (on parle de régression linéaire). 5. 1. Modélisation du problème ¶
Nous allons donner, sans rentrer dans les détails un sens au terme "au plus près". La méthode proposée ici s'appelle la méthode des moindres carrés. Dans toute la suite la méthode proposée suppose qu'il n'y a pas d'incertitudes sur les abscisses \(x_i\) ou qu'elles sont négligeables devant celles sur les \(y_i\). Régression linéaire python numpy. Du fait des incertitudes (de la variabilité des mesures), les points \((x_i, y_i)\) ne sont jamais complètement alignés. Pour une droite d'ajustement \(y_{adj} = ax + b\), il y aura un écart entre \(y_i\) et \(y_{adj}(x_i)\). La méthode des moindres carrés consiste à minimiser globalement ces écarts, c'est-à-dire à minimiser par rapport à a et b la somme des carrés des écarts, soit la fonction:
\[
\Gamma(a, b) = \sum_{i=1}^{i=k} \left( y_i - y_{adj}(x_i) \right)^2 = \sum_{i=1}^{i=k} \left( y_i - (a x_i + b) \right)^2
\]
Les tracés ci-après montre le passage (gauche à droite) des écarts modèle-mesures pour un couple \((a, b)\) au calcul de \(\Gamma\) pour quelques couples de valeurs \((a, b)\).
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La fonction plot() affiche 4 graphiques aidant à la validation des hypothèses. #affichage des résultats dont le R²
summary(reg_ventes)
#calcul du RMSE
predictions = predict(reg_ventes, sales)
rmse = mean((sales$sales - predictions)^2)
print(rmse)
#affichage des graphiques
plot(reg_ventes)
Une fois le modèle ajusté, nous affichons, la constante, les coefficients, le R² et le RMSE. Nous obtenons deux graphiques (qu'il faudrait mieux préparer) représentant: les valeurs de y en fonction des valeurs prédites avec le modèle de régresssion linéaire et les valeurs de Y en fonction des résidus. [Python]Mise en jeu de la régression linéaire – Solo. De nombreuses autres analyses sont possibles, mais on a ainsi déjà quelques informations sur notre modèle. print(ercept_)
print(ef_)
#calcul du R²
(X, y)
(((edict(X))**2)()/len(y))
(y, edict(X), '. ') ()
Cette analyse est uniquement illustrative pour vous montrer à quel point ces deux langages sont simples pour ce type de traitement. Ce qui ressort aussi c'est un aspect plus orienté statistique pour R et un aspect plus orienté programmation pour python (du moins en terme de sorties).
Détermination des multicolinéarités: on peut pour cela utiliser la fonction suivante:
df = Frame({'x1': x1, 'x2': x2, 'x3': x3, 'y': y})
print([([:, ['x1', 'x2', 'x3']], i)
for i in range(len(['x1', 'x2', 'x3']))])
il faut alors éliminer une par une les variables qui donnent une valeur supérieure à 5 (en commençant par la plus grande, puis on refait tourner, etc... ). Copyright
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