Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est arithmétique, puis de déterminer son premier terme et sa raison. On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=-1, v_1=\dfrac{1}{2} et, pour tout entier naturel n, par: v_{n+2}=v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n
On considère alors \left( u_n \right) la suite définie pour tout entier naturel n: u_n=\dfrac{v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}
On admet que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0. Démontrer qu une suite est arithmétiques. On veut montrer que la suite \left( u_n \right) est arithmétique et déterminer sa raison. Etape 1 Calculer u_{n+1}-u_{n} Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit la différence u_{n+1}-u_{n}. Soit n un entier naturel.
DÉMontrer Qu'Une Suite Est ArithmÉTique : Exercice De MathÉMatiques De PremiÈRe - 610043
u 1 0 0 = 5 + 2 × 1 0 0 = 2 0 5 u_{100}=5+2\times 100=205
Réciproquement, si a a et b b sont deux nombres réels et si la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est définie par u n = a × n + b u_{n}=a\times n+b alors cette suite est une suite arithmétique de raison r = a r=a et de premier terme u 0 = b u_{0}=b. Démonstration
u n + 1 − u n = a ( n + 1) + b − ( a n + b) u_{n+1} - u_{n}=a\left(n+1\right)+b - \left(an+b\right) = a n + a + b − a n − b = a =an+a+b - an - b=a
et
u 0 = a × 0 + b = b u_{0}=a\times 0+b=b
La représentation graphique d'une suite arithmétique est formée de points alignés. Cela se déduit immédiatement du fait que, pour tout n ∈ N n \in \mathbb{N}, u n = u 0 + n × r u_{n}=u_{0}+n\times r donc les points représentant la suite sont sur la droite d'équation y = r x + u 0 y=rx+u_{0}
Suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 u_{0}=1 et de raison r = 1 2 r=\frac{1}{2}
Théorème
Soit ( u n) \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r r:
si r > 0 r > 0 alors ( u n) \left(u_{n}\right) est strictement croissante
si r = 0 r=0 alors ( u n) \left(u_{n}\right) est constante
si r < 0 r < 0 alors ( u n) \left(u_{n}\right) est strictement décroissante.
Démontrer Qu'Une Suite Est Arithmétique | 2 Exemples Corrigés | Pigerlesmaths - Youtube
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme. Voir la solution Soit $n$ un entier naturel. $v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d'après l'énoncé. $\qquad =(3u_n-4)-2$ d'après l'énoncé. $\qquad =3u_n-6$
$\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3. De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$. Démontrer qu'une suite est arithmétique et trouver sa raison - forum mathématiques - 491222. Niveau difficile
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$. $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d'après l'énoncé. $\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.
DÉMontrer Qu'Une Suite Est ArithmÉTique Et Trouver Sa Raison - Forum MathÉMatiques - 491222
Autres liens utiles: Exercices corrigés suites arithmétiques ( Première S ES L) Voir le cours sur les suites Géométriques ( Première S ES et L) Somme de Termes d'une suite Arithmétique / Géométrique ( Première S) Au cas où tu as des questions sur les suites arithmétiques, n'hésite surtout pas de nous laisser un commentaire en bas de ce cours. Si ce cours t' a plu, tu peux le partager avec tes amis pour qu'eux aussi puissent en profiter 😉!
Ce résultat découle immédiatement de u n + 1 − u n = r u_{n+1} - u_{n}=r
Théorème (Somme des premiers entiers)
Pour tout entier n ∈ N n \in \mathbb{N}:
0 + 1 +... + n = n ( n + 1) 2 0+1+... +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}
Une démonstration astucieuse consiste à réécrire la somme en inversant l'ordre des termes:
S = 0 + 1 + 2 +... + n S = 0 + 1 + 2 +... + n (1)
S = n + n − 1 + n − 2 +... + 0 S = n + n - 1 + n - 2 +... + 0 (2)
Puis on additionne les lignes (1) et (2) termes à termes. Dans le membre de gauche on trouve que tous les termes sont égaux à n n ( 0 + n = n 0+n=n; 1 + n − 1 = n 1+n - 1=n; 2 + n − 2 = n 2 + n - 2=n, etc. ). Comme en tout il y a n + 1 n+1 termes on trouve:
S + S = n + n + n +... Démontrer qu'une suite est arithmétique. + n S+S = n + n + n +... + n
2 S = n ( n + 1) 2S = n\left(n+1\right)
S = n ( n + 1) 2 S = \frac{n\left(n+1\right)}{2}
Soit à calculer la somme S 1 0 0 = 1 + 2 +... + 1 0 0 S_{100}=1+2+... +100. S 1 0 0 = 1 0 0 × 1 0 1 2 = 5 0 × 1 0 1 = 5 0 5 0 S_{100}=\frac{100\times 101}{2}=50\times 101=5050
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