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Sommaire
Cliquez sur le titre d'une partie pour accéder directement à son contenu. Distance d'un point à une droite
La médiatrice d'un segment
Hauteurs dans un triangle
Distance entre deux droites parallèles
Dans ce chapitre, on s'intéresse à la distance entre deux objets mathématiques. La distance entre deux points est la longueur du plus court chemin entre ces deux points. Si $A$ et $B$ sont deux points, alors la distance de $A$ à $B$ est la longueur du segment $[AB]$. Cette longueur est notée $AB$. 1. Distance d'un point à une droite
La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment qui relie ce point et un point quelconque de la droite. Remarque
La distance d'un point $A$ à une droite $(d)$ est la longueur du segment reliant le point $A$ au pied de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$. 2. La médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ qui passe par le milieu de $[AB]$. Pour construire la médiatrice d'un segment $[AB]$, on peut suivre le programme de construction suivant.
Distance D Un Point À Une Droite Exercice Corrigé Un Usage Indu
Exemple
Dans le triangle $ABC$ ci-dessous, on a tracé la droite $(d)$ qui est la hauteur relative au côté $[AB]$. On dit aussi que $(d)$ est la hauteur issue du sommet C.
Remarques
1. Un triangle possède trois hauteurs. 2. Une hauteur peut se retrouver à l'extérieur du triangle. 3. La distance d'un sommet d'un triangle au pied de la hauteur issue de ce sommet sera utile pour calculer l'aire d'un triangle. 4. Distance entre deux droites parallèles
La distance entre deux droites parallèles est la plus courte distance entre deux points quelconques de ces deux droites (un sur chaque droite). On considère deux droites parallèles $(d)$ et $(d')$ et un point $A$ appartenant à $(d)$. La distance entre $(d)$ et $(d')$ est la longueur $AB$, où $B$ est le point d'intersection de $(d')$ et de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$. Les étapes ci-dessous permettent d'illustrer la situation.
Distance D Un Point À Une Droite Exercice Corrigé De L Épreuve
(Tusc disp I. 23)....
impressions or views which have the appearance of truth and therefore induce...... tique,? where Xenomanes says that? Peu, et Paix? are? les deux choses du... universite de liege - ORBi - Université de Liège 18. I. 1. 3. Principe de la polarographie [3-5].... La polarographie impulsionnelle
normale et impulsionnelle différentielle.... 21. 4. La redissolution (stripping)
anodique ou.... Extraction de l'étain en phase aqueuse...... A l'origine, l'
électrode à goutte de mercure a été développée pour étudier les variations de la... Rapport de la session 2014 - Agrégation interne de mathématiques... 5. 3 Exercices d'algèbre et géométrie.... Orléans. M. Christophe HENOCQ. Professeur de chaire supérieure lycée Jacques Decour, Paris. Mme Michèle...
université de Grenoble II. Thierry LAMBRE..... c) Polynômes à une
indéterminée sur un corps commutatif K. Algèbre K[X].... Corps K(X) des fractions
rationnelles. Université d'Orléans UFR Sciences Département de Mathématiques... Université d'Orléans.
Distance D Un Point À Une Droite Exercice Corrigé Dans
L'espace est muni d'un repère orthonormal Partie A. Soit ( P) le plan d'équation 1. Vérifier que ( P), puis donner un vecteur normal à ( P) que l'on notera. 2. Soit On veut déterminer la distance du point A au plan ( P), c'est-à-dire la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur ( P). a. Exprimer en fonction de la distance AH. En déduire. Utiliser la relation de Chasles. b. En déduire la distance de A au plan ( P). Partie B. Cas général. Soit ( P) le plan d'équation désigne un point de ( P), et le vecteur de coordonnées Soit un point de l'espace et H son projeté orthogonal sur le plan ( P). 1. Exprimer en fonction de AH, a, b et c 2. Montrer que 3. Exprimer alors la distance de A à ( P) en fonction de x, z, a, b, c et d. Partie A 1. donc ● D'après le cours, est normal à ( P). car M et H sont 2 points de (P), est orthogonal au vecteur normal au plan. étant colinéaires, Donc soit: b. La distance de A au plan ( P) est égale à AH. Or d'après 2., et donc Donc: Toujours vérifier que le résultat obtenu est positif.
Distance D Un Point À Une Droite Exercice Corrigé Pdf
On appelle $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les projetés orthogonaux du point $M$ sur les côtés du triangle $ABC$. Montrer, en calculant des aires, que la somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est constante. Correction Exercice 3
L'aire du triangle $MBC$ est $\mathscr{A}_1=\dfrac{MM_1\times BC}{2}$. L'aire du triangle $MAB$ est $\mathscr{A}_2=\dfrac{MM_2\times AB}{2}$. L'aire du triangle $MAC$ est $\mathscr{A}_3=\dfrac{MM_3\times AC}{2}$. On appelle $\mathscr{A}$ l'aire du triangle $ABC$. Par conséquent $\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3=\mathscr{A}$
$\ssi \dfrac{MM_1\times BC}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AC}{2}=\mathscr{A}$
Le triangle $ABC$ est équilatéral. Donc $AB=BC=AC$. On en déduit donc que:
$\dfrac{MM_1\times AB}{2}+\dfrac{MM_2\times AB}{2}+\dfrac{MM_3\times AB}{2}=\mathscr{A}$
$\ssi \left(MM_1+MM_2+MM_3\right)AB=2\mathscr{A}$
$\ssi MM_1+MM_2+MM_3=\dfrac{2\mathscr{A}}{AB}$
La somme $MM_1+MM_2+MM_3$ est bien constante. Exercice 4
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$ cm et $AC=8$ cm.
Démontrer que $x\in F$. Enoncé Soit $A$ et $B$ deux parties d'un espace métrique. On suppose que $A$ est ouverte et que $A\cap B=\varnothing$. Démontrer que $A\cap\overline{B}=\varnothing$. Enoncé Démontrer que dans un espace métrique, toute partie fermée est intersection dénombrable de parties ouvertes. Enoncé Soient $A$ et $B$ deux parties d'un espace métrique $X$. On suppose que $\inf\{d(a, b);\ a\in A, \ b\in B\}>0$. Démontrer qu'il existe deux parties ouvertes $U, V$ de $X$ telles que $A\subset U$, $B\subset V$ et $U\cap V=\varnothing$. Enoncé Soit $U_1, \dots, U_n$ un nombre fini d'ouverts denses d'un espace métrique $(E, d)$. Démontrer que $\bigcap_{i=1}^n U_i$ est un ouvert dense. Enoncé Soient $A, B$ deux parties d'un espace métrique $(E, d)$. On suppose $A\subset B$. Démontrer que $\mathring A\subset\mathring B$ et que $\bar A\subset\bar B$. Démontrer que $(A\cap B)^\circ=\mathring A\cap\mathring B$ et que $\mathring A\cup\mathring B\subset ( A\cup B)^\circ$, mais que l'inclusion peut être stricte.
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