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Bac 2013 Métropole Nice Côte D
On dispose des informations suivantes:
les points $A$, $B$, $C$ ont pour coordonnées respectives $(1;0)$, $(1;2)$, $(0;2)$;
la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point $B$ et la droite $(BC)$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $B$;
il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, $$f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}. $$
a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. b. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, $f'(x) = \dfrac{(b – a) – b \ln x}{x^2}$. c. En déduire les réels $a$ et $b$. a. Sujets et corrigés de toutes les épreuves du bac 2013 en Métropole France. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$, $f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. b. Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{\ln x}{x}$. c. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. a. Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0;1]$. b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1;+ \infty[$ tel que $f(\beta) = 1$.
Bac 2013 Métropole Lilloise
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Bac 2013 Métropole Gratuit
On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} – n$. a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$. b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $$u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n$$
c. Bac S SVT (Spécialité) Métropole 2013 - Corrigé - AlloSchool. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: $$S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. b. Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$. Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie la population d'une région imaginaire. Le $1^{\text{er}}$ janvier 2013, cette région comptait $250~000$ habitants dont $70\%$ résidaient à la campagne et $30\%$ en ville. L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante:
l'effectif de la population est globalement constant,
chaque année, $5\%$ de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et $1\%$ de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
Bac S – Mathématiques – Correction
Vous pouvez trouver l'énoncé de ce sujet de bac ici. Exercice 1
a.
b. $p(C \cap H_3) = 0, 4 \times 0, 3 = 0, 12$
$~$
c. D'après la propriété des probabilités totales on a:
$$\begin{align} p(C) &= p(C \cap H_1) + p(C \cap H_2) + p(C \cap H_3) \\\\
&=0, 35 \times 0, 8 + 0, 25 \times 0, 5 + 0, 12 \\\\
&=0, 525
\end{align}$$
d. $p_C(H_1) = \dfrac{p(C \cap H_1)}{p(C)} = \dfrac{0, 35 \times 0, 8}{0, 525} \approx 0, 533$
a. Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues: $C$ et $\bar{C}$. Bac 2013 métropole nice côte d. De plus $p(C) = 0, 525$. La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0, 525$. b. $P(x=5) = \binom{10}{5}0, 525^5 \times (1-0, 525)^{10-5} \approx 0, 243$
c. $P(X \le 8) = 1 – P(x = 9) – P(X = 10) = 0, 984$
Exercice 2
a. $f(1) = 2$ et $f'(1) = 0$ (tangente horizontale)
b. $f'(x) = \dfrac{\dfrac{b}{x} \times x – (a + b\ln x)}{x^2} = \dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}$
c. $f(1) = a = 2$ et $f'(1) = b-a = 0$ donc $b=a=2$
a.
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