Quelle est la proportion b/a? Mise en équation: on peut écrire b/a = a/(b-a) pour exprimer l'égalité des proportions. On obtient une équation trinôme, et on la résout selon la formule algébrique qu'on a apprise (il se trouve que son discriminant est positif):
Naturellement la dernière "double égalité" (avec "plus ou moins") est une conséquence nécessaire. Mais ça ne veut pas dire que les deux solutions soient solutions du problème de départ. Il faut aussi que b/a soit positif. Equation du premier degré à une inconnue - Calculateur. Donc la solution est
Les mathématiciens du Moyen Âge appelaient ce nombre, "le nombre d'or ". Ils trouvaient que c'était "la plus belle proportion" pour un rectangle, et beaucoup de palais italiens construits à la Renaissance ont des fenêtres avec cette proportion. Selon les goûts modernes elle est un peu trop allongée. Suite de Fibonacci, alias Léonard de Pise (c. 1175, c. 1250)
C'est la suite de nombres obtenue en partant des deux premiers nombres 1 et 1, puis chaque nombre suivant est la somme des deux précédents:
1 1 2 3 5 8 11 etc.
D'une manière générale si on appelle u n le n-ième nombre, on a u n+1 = u n + u n-1
Alors on verra dans un cours ultérieur que le ratio u n+1 / u n tend vers le nombre d'or.
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Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admet une et une seule solution si son déterminant est non nul. Si le déterminant est nul, alors le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions. Il existe 2 méthodes pour résoudre un système d'équations: la méthode par substitution et la méthode par combinaisons linéaires (voir exemples). L'outil a été amélioré: vous pouvez résoudre des systèmes à deux inconnues avec des coefficients sous la forme de fractions comme 3/4! Résolution par substitution
Le système est composé des deux équations suivantes:
2x + 3y = 5 (L1)
et
x − 2y = −1 (L2). 1 équation à 2 inconnues en ligne pour 1. L'équation (L2) permet d'écrire: x = −1 + 2y. On remplace x par −1 + 2y dans l'équation (L1):
2(−1 + 2y) + 3y = 5
−2 + 4y + 3y = 5
7y = 5 + 2
7y = 7
y = 1
Puis on remplace y par la valeur obtenue dans l'équation (L1):
2x + 3 × 1 = 5
2x + 3 = 5
2x = 5 − 3
x = 1
Le système a donc pour solution le couple (x;y) = (1;1).
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Cours de mathématiques de 2nde
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Au sortir du collège, il est fondamental de reconnaître les problèmes de la vie courante qui se transforment en une équation à une inconnue, peut-être du 1er degré, peut-être du 2e, peut-être d'une autre forme. Il faut savoir la résoudre par l'algèbre (quand c'est possible) et par la géométrie. Nous allons faire quelques exercices. Exercice 1. Soit une quantité inconnue telle que si je prends 2/3 de cette valeur et je rajoute 1, ou si j'en prends les 3/4 et je rajoute 2, j'obtiens le même résultat. Cours de mathématiques de 2e - équations à une inconnue. Quelle est cette valeur? Mise en équation: appelons x cette valeur inconnue. Alors le problème donne la contrainte
$$\frac{2}{3}x + 1 = \frac{3}{4}x + 2$$
Solution par l'algèbre:
Solution par la géométrie: traçons les deux droites y = (2/3)x + 1 et y = (3/4)x + 2. Le point où elles se couperont aura une abscisse qui vérifiera nécessairement l'équation de l'exercice. Pour tracer des points de la première droite (en rouge), on observe que pour x = 0, y = l'ordonnée à l'origine = 1.
La méthode de substitution consiste à résoudre une équation pour une variable et à mettre le résultat dans l'autre équation. C'est ainsi facile de résoudre la deuxième équation, qui maintenant contient une seule variable. Enfin, on peut mettre le résultat obtenu dans une des équations de départ. Dans la méthode de comparaison, on résout les deux équations pour la même variable et puis on les égalise. Cela signifie que seulement une variable reste et le calcul devient alors facile. 1 équation à 2 inconnus en ligne mon. Enfin, le résultat est mis dans une des équations de départ pour en extraire la valeur de l'autre inconnue. Pour terminer, la méthode d'élimination consiste à ordonner les équations afin qu'elles aient chaque terme, inconnues et constantes, ordonné dans la même façon. Il est ainsi facile de faire les calculs en vertical. Cela veut dire qu'on les pourrait additionner ou soustraire (multipliés pour une quelque constante) pour faire disparaitre une des deux inconnues. On insère puis la valeur obtenue dans une équation de départ pour calculer l'autre inconnue.
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