Remarque
On peut munir une classe propre d'une relation d'équivalence. Exercices sur les relations d’équivalence et relations d’ordre | Méthode Maths. On peut même y définir des classes d'équivalence, mais elles peuvent être elles-mêmes des classes propres, et ne forment généralement pas un ensemble (exemple: la relation d' équipotence dans la classe des ensembles). Ensemble quotient [ modifier | modifier le code]
On donne ce nom à la partition de E mise en évidence ci-dessus, qui est donc un sous-ensemble de l' ensemble des parties de E.
Étant donnée une relation d'équivalence ~ sur E, l' ensemble quotient de E par la relation ~, noté E /~, est le sous-ensemble de des classes d'équivalence:
L'ensemble quotient peut aussi être appelé « l'ensemble E quotienté par ~ » ou « l'ensemble E considéré modulo ~ ». L'idée derrière ces appellations est de travailler dans l'ensemble quotient comme dans E, mais sans distinguer entre eux les éléments équivalents selon ~.
Relation D Équivalence Et Relation D Ordre Alphabétique
En appliquant le théorème de factorisation ci-dessus, on peut donc définir la loi quotient comme l'unique application g: E /~ × E /~ → E /~ telle que f = g ∘ p. )
Exemples
Sur le corps ordonné des réels, la relation « a le même signe que » (comprise au sens strict) a trois classes d'équivalence:
l'ensemble des entiers strictement positifs;
l'ensemble des entiers strictement négatifs;
le singleton {0}. La multiplication est compatible avec cette relation d'équivalence et la règle des signes est l'expression de la loi quotient. Relation d équivalence et relation d ordre alphabétique. Si E est muni d'une structure de groupe, on associe à tout sous-groupe normal une relation d'équivalence compatible, ce qui permet de définir un groupe quotient. Relation d'équivalence engendrée [ modifier | modifier le code]
Sur un ensemble E, soit R une relation binaire, identifiée à son graphe. L'intersection de toutes les relations d'équivalence sur E qui contiennent R est appelée la relation d'équivalence (sur E) engendrée par R [ 5]. Elle est égale à la clôture réflexive transitive de R ∪ R −1.
\) Montrons que la classe de \(y\) est contenue dans celle de \(x. \) Soit \(z_1\in C_y. \) On a \(y \color{red}R\color{black} z_1\) et \(x \color{red}R\color{black} y, \) et donc \(x \color{red}R\color{black} z_1\) par transitivité. C'est-à-dire \(z_1\in C_x\) et donc \(C_y\subset C_x. \) De la même façon, on montre \(C_x\subset C_y. \) Donc les deux classes \(C_x\) et \(C_y\) sont confondues. Définition: Représentant d'une classe
\(C_x\) est la classe d'équivalence de tout élément \(z\) de \(C_x. \) En effet, si \(y\) et \(z\) appartiennent à la classe de \(x, \) alors leurs classes sont confondues avec celle de \(x. \) Ceci justifie d'appeler tout élément d'une classe représentant de cette classe. Partition d'un ensemble L'ensemble \(E\) est partagé en une réunion disjointe de classes. Relation d'équivalence [Relations]. \(E =\cup_{x\in E}C_x\)
Les classes forment une partition de l'ensemble
\(E\): Chaque élément de \(E\) appartient à une classe au moins Chaque élément de \(E\) appartient à une seule classe. Exemple:
\(\forall x\in E, ~ C_x = \{x\}\) pour l'égalité.
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