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Exercice Maximum De Vraisemblance Paris
Si
est un
échantillon, la
vaut:
Son logarithme est:
La dérivée par rapport à est:
Elle s'annule pour:
La dérivée seconde est:
Elle est strictement négative, la valeur
est bien un maximum. échantillon
loi de Bernoulli
de
paramètre,
l' estimateur
du
de est:
à savoir la
fréquence empirique. Lois géométriques
d'entiers, la
loi géométrique
à savoir l'inverse de la
moyenne empirique,
ce qui est cohérent
avec le fait que le paramètre est l'inverse de
l' espérance. Exercice de maximum de vraisemblance - forum mathématiques - 701867. Lois exponentielles
Le paramètre inconnu est encore. Il s'agit ici de
lois continues,
est donc un produit de valeurs de la
densité. Pour
un -uplet de réels positifs
elle vaut:
est bien
un maximum. loi exponentielle
est:
avec le fait que le paramètre est égal à l'inverse de
Lois normales
Pour un paramètre multidimensionnel, le principe est le même, mais
les calculs d'optimisation sont plus compliqués. Pour les lois normales,
deux paramètres sont inconnus. Afin d'éviter les confusions dans
les dérivations, nous noterons le paramètre de
variance,
habituellement noté.
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Dans l'étang numérique suivant, il y a 1000 poissons (virtuels). On organise deux pêches. A vous de vérifier si l'estimation donnée par le maximum de vraisemblance donne un résultat proche de 1000. Consulter aussi...
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Ce principe dit implicitement: ce qui se réalise est ce qui doit se réaliser avec la plus grande probabilité. Bb
Dernière modification par freddy (25-10-2010 08:45:12)
De la considération des obstacles vient l'échec, des moyens, la réussite. #3 25-10-2010 08:27:52
Merci freddy de votre explication. J'ai une question: où est l'estimateur maximum de vraisemlance? c'est N? Mais moi j'avais cmpris du principe de l'EMV "d'après mon cours", qu'on nous donne un modéle avec parametre inconnu et on cherche le parametre qui maximise la probabilité qu'un évennement de ce modèle se réalise. Alors que dans cet exercice on nous donne le parametre 37% =0, 35 qui est la probabilité de survivre après 4 semaines. #4 25-10-2010 08:49:28
Bonjour, en effet, ton problème, tel que tu nous le donnes, est curieux. Je me suis dit que ton prof. voulait vérifier votre bon sens. Exercice maximum de vraisemblance les. Tu parles maintenant de 4 semaines, ce n'est plus 6? Attention, j'ai corrigé mon erreur de calcul, j'avais pris 35%. Sinon, ok pour la définition mathématique de l'emv, mais alors il faudrait construire une loi de probabilité du phénomène étudié (géométrique par exemple).
Exercice Maximum De Vraisemblance A Vendre
A te lire. #7 26-10-2010 08:36:51
Re, je viens d'avoir une début de lueur d'espoir de compréhension. OK, tu as p=0. 37 et tu cherches N, taille de la population d'origine. OK pour la somme de N (inconnu) v. a de bernoulli INDEPENDANTES (important à préciser) de paramètre p, et donc tu formes la prob(m=235). Tu vas trouver une formule compliquée en N => utiliser la formule de Stirling pour approximer les factorielles puis tu appliques le théorème de l'emv. A te lire, freddy
Dernière modification par freddy (26-10-2010 08:37:15)
#8 27-10-2010 16:29:24
Re, on finit le boulot ( car on n'aime pas laisser trainer un sujet pas fini). Donc p est connu et N est inconnu. Proba estimateur maximum de vraisemblance / Entraide (supérieur) / Forum de mathématiques - [email protected]. On cherche son EMV. On calcule la vraisemblance: [tex]L(N;p, m)=P(m=235)=\frac{N! }{m! (N-m)}\times p^m\times (1-p)^{N-m}[/tex] Pour les factorielles, on utilise l'approximation de Stirling: [tex] N! \equiv \sqrt{2\pi N}\times \left(\frac{N}{e}\right)^N[/tex] On trouve alors la fonction de vraisemblance suivante: [tex]L(N;p, m)=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\times \exp\left((-m-\frac12)\ln(m)+m\ln(p)\right)\times f(N) [/tex] [tex]f(N)=\exp\left((N+\frac12)\ln(N)-(N-m+\frac12)\ln(N-m)+(N-m)\ln(1-p)\right)}[/tex] On prend soin de bien isoler l'inconnue N du reste.
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