Démontrez-le. $1$. En déduire que pour tout réel $x>0$, $ \ln x \leqslant x-1$. 7:
Étudier la convexité d'une fonction - logarithme
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = (\ln
(x))^2$. "Exercices corrigés de Maths de Seconde générale"; La fonction carré; exercice3. Étudier la convexité de $f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe
représentative
8:
Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité -
Nathan Hyperbole
$g$ est la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa
courbe
représentative dans un repère. Rappeler la convexité de la fonction $g$. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$, puis le nombre dérivé
$g'(1)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse
Utiliser les réponses aux questions précédentes
pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$, on a $\sqrt{x} \leqslant
\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.
Exercice Fonction Carré Bleu
1. On a: et, pour tout,
2. La fonction racine carrée est strictement croissante
sur
3. Pour tous réels positifs et,
De plus, si alors
1. L'équation possède une unique solution donc
Soit Par définition, Mais si, alors donc
Donc, par contraposée: si, alors
2. 134
3. Voir la partie Nombres et calculs p. 19. Démontrer l'implication revient à démontrer sa contraposée
1. Les écritures suivantes ont-elles un sens? Justifier la réponse et simplifier si cela est possible. a.
b.
c.
d.
e.
2. Compléter sans calculatrice avec ou. 1. La fonction racine carrée est définie sur Donc, si, n'existe pas. est le nombre positif tel que c'est
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur
donc si, alors l'ordre est conservé. 1. Cours : Séquence 3: Fonctions carrée, racine carrée, cube et inverse. a.
b. Impossible car
e. Impossible car
2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur donc:
a. car
b. car
c. car
Pour s'entraîner: exercices 21 p. 131, 50 et 51 p. 133
Exercice Equation Fonction Carré
Aperçu des sections Objectifs Objectifs L'élève
doit être capable de: calculer
l'image d'un nombre, les antécédents d'un nombre par une fonction
définie par une formule algébrique simple déterminer
graphiquement le sens de variation d'une fonction Pré-requis Pré-requis Repère orthonormé Placer un point dans un repère Variations d'une fonction Propriétés d'une racine carrée Cours Exercices Annexes Annexes Page 37: §1 Fonction carrée et §4 Fonctions inverse Page 38: §2 Fonction racine carrée Page 52 exercice 72: §3 Fonction cube
Exercice
1:
Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^x$. Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$. Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ dans un
repère. 2:
Dans chaque cas, $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$. Convexité - Fonction convexe concave dérivée seconde. Étudier le signe de $f''(x)$ sur
$I$. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion. $f''(x) = \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{(x-1)^3}$ $\rm I =]1~;~+\infty[$
$f''(x) = (-0, 08x+0, 4)\mathrm{e}^{0, 2x-3}$ $\rm I = \mathbb{R}$
$f''(x) = (4x-10)\sqrt{5x+2}$ $\rm I =]0~;~+\infty[$
3:
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$. Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$. Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la
fonction $f$.