Une équation de degré n:
admet n solutions réelles ou complexes, simples ou multiples. L'existence de racines complexes impose d'utiliser la variable complexe. La détermination des n racines revient à rechercher les n zéros de la fonction complexe:
où les coefficients a 1, a 2 … a n-1 sont tous réels. Equation du second degré complexe. Soit, z 1, z 2, z 3 … z n les n racines recherchées:
si z k est complexe nous aurons nécessairement les 2 solutions conjuguées:
afin que le produit:
soit réel. Ainsi un polynôme admettant, entre autres, les deux racines conjuguées:
s'écrit:
Dans le cas le plus général une équation de degré
s+2t ayant s racines réelles et 2t racines complexes s'écriera:
où k i et k j sont respectivement les ordres de multiplicité de la
ième racine réelle z i et de la jème paire de racines complexes
conjuguées: x j +iy j et x j -iy j. L'algorithme Newton-Raphson permet de déterminer les zéros de la
fonction et donc les racines du polynôme. Pour une variable réelle, un des zéros de la fonction
F(x) est affiné à partir d'une approximation initiale, au niveau de laquelle on calcule la
tangente à courbe représentative: le point de croisement de cette tangente avec l'abscisse
constitue une meilleure évaluation de la racine.
Racines Complexes Conjugues Les
Addition d'un nombre complexe et de son conjugué Soit z un nombre conjugué (z = a + ib) et son conjugué ( = a - ib) z + = a + ib + a - ib = a + a +ib - ib = 2a
z + = 2Re(z)
La somme d'un nombre complexe et de son conjugué correspond au double de sa partie réelle. Produit d'un nombre complexe par son conjugué Soit z un nombre conjugué (z = a + ib) et son conjugué ( = a - ib) z. = (a + ib)(a - ib) = a 2 - (ib) 2 (d'après l'identité remarquable = a 2 - (-b 2) = a 2 + b 2
z. Racines complexes conjugues dans. = a 2 + b 2
Le produit d'un nombre complexe par son conjuguée correspond à somme du carré de sa partie réelle et du carré de sa partie imaginaire. Autres propiétés algébriques des conjugués Si k est un réel, n un entier, z et z' deux nombres complexes alors:
= k. = + ' =. ' = = () n
\)
Exemple
Examinons sans plus attendre un exemple, tiré de l'épreuve du bac STI (GE, GET, GO) de décembre 2004, Nouvelle-Calédonie (pour des équations avec la forme algébrique, voir les équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\)). Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, résoudre l'équation d'inconnue \(z\): \(2z^2 + 10z + 25\) \(= 0. \) Écrire les solutions de cette équation sous la forme \(re^{i\theta}, \) où \(r\) est un nombre réel positif et \(\theta\) un nombre réel. Racines complexes conjugues du. La première partie de la question réclame une simple application des formules. Le discriminant est égal à \(10^2 - (4 \times 2 \times 25) = -100\)
\({z_1} = \frac{{ - 10 + 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i\)
\({z_2} = \frac{{ - 10 - 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i\)
La deuxième partie de la question aurait davantage sa place en page de forme polaire des complexes mais traitons-la pour le plaisir. Calculons le module de \(z_1\) selon une procédure bien rôdée:
\(|z_1|\) \(=\) \(\left| { - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i} \right|\) \(=\) \(\frac{5}{2}\left| {i - 1} \right|\) \(=\) \(\frac{5}{2}\sqrt {\left| { - 1 - {1^2}} \right|}\) \(=\) \(\frac{{5\sqrt 2}}{2}\)
Quel peut bien être l'argument?
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