Comme nous l'avons vu précédemment, il est assez facile de représenter une valeur binaire (0/1, vrai/faux) à l'aide de tensions électriques, et de construire des circuits qui calculent des fonctions logiques ou arithmétiques. La base 2 est donc naturellement utilisée pour l'arithmétique dans les ordinateurs. Les entiers non signés
Un entier {$n$} représenté sur {$k$} chiffres dans une base quelconque {$b$} a pour forme:
{$$n = a_{k-1}a_{k-2}\dots a_1a_0 = \sum_{i=0}^{k-1}a_i b^i$$}
En base 10, l'entier {$421_{10}$} vaut bien {$4\times 10^2+2\times 10^1+1\times 10^0 = 400+20+1$}. En binaire, le même entier est représenté par {$110100101_2 = 2^8+2^7+2^5+2^2+2^0 = 256+128+32+4+1$}. L arithmétique binaire il. En utilisant au plus {$k$} chiffres, on peut représenter les entiers de l'intervalle {0, 2^k-1$}. La somme de deux nombres de {$k$} chiffres est dans l'intervalle {0, 2^k$} et est donc représentable sur {$k+1$} chiffres. Si le nombre de chiffre {$k$} est fixé, par exemple par le nombre de bascules utilisées pour stocker les nombres, le résultat d'une addition ne pourra donc pas toujours être représenté avec le même nombre de chiffres que celui des opérandes.
- L arithmétique binaire e
- L arithmétique binaire un
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L Arithmétique Binaire E
Le circuit aura deux entrées x, y et deux sorties S et B
S: Sortie du bit de soustraction
B: Retenue (borrow)
a) Tableau de vérité:
b) Equation des sorties:
Soustracteur complet
C'est un circuit capable de faire la soustraction de deux bits de rang n, (x n -y n) tout en tenant compte de la retenue B n-1 provenant de la soustraction des bits de rang directement inférieurs. On aura deux sorties S n et B n. Cours en PDF sur les nombres binaires. Table de vérité
x n
y n
B n-1
S n
B n
0
1
Opération de multiplication
Les règles de calcul de la multiplication binaire sont pratiquement les mêmes qu'en décimal. Nous avons ainsi:
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Application:
Lorsqu'une opération donne plus de deux produits partiels, effectuez la somme de ces derniers 2 à 2 pour diminuer le risque d'erreur. Conception d'un circuit multiplicateur
Exercice 1:
Conception d'un circuit multiplicateur de deux nombres d'un bit chacun. Tableau de vérité:
Logigramme:
Même principe que la division des nombres décimaux xy
Exercice:
Conception d'un multiplicateur de deux nombres de 2 bits chacun: X (x1x0); Y (y1y0).
L Arithmétique Binaire Un
J'avais un jour noté ( par le site de Gérard Villemin) que ces nombres s'appellent des repunit. Autre question amusante en rapport avec la numération sur ce même site (j'avais d'ailleurs complété le truc pour son site, au départ limité à des chiffres tous différents): Quelle somme obtient-t-on en ajoutant tous les nombres obtenus en permutant les chiffres d'un nombre donné? Par exemple 112 + 121 + 211, 12345 + 54321 +... (120 termes) L'exercice (sous sa forme restreinte) est d'ailleurs posé dans le tome premier d'algèbre de Chambadal-Ovaert ( vieux... mais super bien fait) A. "Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac "Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau... "
#9 28-03-2022 09:18:16
Bonjour! J'avais pensé à la récurrence, mais j'ai trouvé plus simple de passer en "positionnement"! L arithmétique binaire d. Voici la référence de villemin sur les Repunit... … #NbRepunit Voir aussi la réponse de Junior ste en Café mathématique!
Tout comme le système de numération que nous connaissons, la valeur qui sera donnée aux chiffres binaires ne dépendra que de la valeur qui est attribuée à chaque symbole. Ceci est plus clairement indiqué dans les ordinateurs, car ces systèmes de nombres sont représentés par deux tensions complètement différentes qui utilisent deux polarités magnétiques sur un disque. L arithmétique binaire un. La valeur qui est donnée à la composition du système binaire dépendra exclusivement de l'architecture que lui donneront les programmeurs. De manière générale, nous pouvons indiquer que le système binaire, bien qu'il soit composé des symboles zéro et un, nous pouvons constater qu'en fonction de la proportion, du préfixe ou des suffixes qui sont placés sur les valeurs, nous aurons différentes manières d'interprétation. Quoi exemples de systèmes binaires nous avons trouvé:
100101 Binaire: il est facile à caractériser grâce au fait que ces numéros ainsi exposés se réfèrent à une déclaration de format qui se base de manière claire et explicite
100101B: il s'agit d'un format binaire qui se caractérise par un suffixe qui le fait fonctionner différemment du système binaire traditionnel.
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