La fonction ƒ est définie et dérivable sur R et
ƒ'(x) = n (1 + x) n -1- n
= n [(1 + x) n -1 - 1]
Pour n ≥ 1, la fonction g: x → (1 + x)i
n-1 est croissante sur [0, +∞[ donc g(x) ≥ g(0)
C'est à dire (1 + x) n >-1 ≥ 1 et ƒ'(x) = n > [(1 + x) n >-1-1] ≥ 0. La fonction ƒ est donc croissante. On a donc: ƒ(a) ≥ ƒ(0)
C'est à dire (1 + a) n - na ≥ 1
Ou encore (1 + a) n ≥ 1 + na
Propriétés
Suite convergente
Soit (un)n∈N une suite de nombre réel et soit ℓ un nombre réel. La suite (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert L contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définition
Autrement dit la suite (un)n∈N converge vers ℓ si et seulement si, pour tout intervalle ouvert L contenant ℓ, on peut trouver un entier n0∈ N tel que, pour tout n∈ N, si n ≥ n0, alors un ∈ i. Unicité de la limite
Théorème et définition: Soit (un)n∈N une suite de nombres réels et soit ℓ ∈ R. Si la suite (un)n∈N converge vers ℓ, alors ℓ est unique. Unite de la limite se. On l'appelle la limite de la suite (un)n∈N et on note:
Remarques
● Attention!
Unite De La Limite Au
Deux points admettant des voisinages disjoints. En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T 2 au sein des axiomes de séparation. L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique. Les-Mathematiques.net. Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou ce qui revient au même: de toute suite généralisée convergente). Exemples et contre-exemples [ modifier | modifier le code]
Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L /3 centrées sur chacun d'eux. Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.
Unite De La Limite Se
3. Limites d'une suite monotone, non-majorée ou
non-minorée
a. Suite croissante et non majorée
La suite u est majorée, si, et
seulement si, il existe un réel M tel que
pour tout n, u n ≤
M. M est appelé un
majorant de la suite. En conséquence, la suite u est non
majorée si, et seulement si, quelque soit le
réel M, il existe n tel que
u n ≥ M. Exemple: Soit la suite u telle
que, pour tout n ∈ *,
+ 1. Pour tout n ∈ *, 0
≤ 2 donc
pour tout n ∈ *, 1 <
+ 1 ≤ 3. La suite u est majorée et 3 est
un majorant de cette suite u. Théorème
Si u est une suite croissante et non
majorée, alors u tend vers +∞. [Preuve] Unicité de la limite d'une suite – Sofiane Maths. D émonstration: Soit A un réel
quelconque, et u une suite non majorée. u est non majorée donc il existe un naturel
p tel que u p ≥ A.
u est croissante donc quel que soit n ≥ p,
u n ≥ u p.
On en déduit que à partir du rang p,
tous les termes de la suite sont dans l'intervalle] A; +∞[, d'où le
résultat. Exemple: Soit la suite u telle que, pour
tout n ∈,
u n = 4 n + 2.
u est croissante et quel que soit le réel
positif M, u m ≥ M, donc u
n'est pas majorée.
On dit que la suite (un)n∈N a pour limite -∞ si, pour tout nombre réel M, tous les un sont inférieurs à M à partir d'un certain rang. Remarque
Suites de référence
● On en déduit que les suites
(-√n), (-n), (-n²), (-n3)...., (-np) avec p ∈ N* et (-qn) que q > 1 ont pour limite -∞. Unite de la limite au. Démonstration de la propriété
Pour montrer qu'une suite (un) n ∈ N tend vers +∞, il faut montrer que pour tout nombre réel M, un > M pour n suffisamment grand. Il suffit donc de trouver un rang à partir duquel un > M
● un = √n
On a donc √n > M dès que n > M² d'où pour tout n > M², √n > M
et on a
Démonstration
● Nous avons déjà vu dans l'exemple que
● un = np pour p ≥ 1
Comme p ≥ 1, pour tout n ∈ N, on a np ≥ n, donc si n > M, on a np ≥ M.
d'où
Soient q > 1 et un = qn
Posons q = 1 + a alors a > 0 et un = (1 + a)n
Admettons un instant que (1 + a)n > 1 + na > na (nous le montrerons tout de suite après)
d'où si
alors un = qn > na > M
donc
Montrons (1 + a) n > 1 + na
Pour cela, posons ƒ(x) = (1 + x)n - nx où n ∈ N*.
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