Un argument de z noté arg( z) est égal à une mesure de l' angle ( OI →; OM →). Pour trouver un argument de z
On appelle α un argument de z
1°) Calcule | z |
2°) Calcule cos(α) = a
et sin(α) = b
3°) Trouve α
arg( z×z') = arg( z) + arg( z')
arg (
z')
= arg(z)-arg(z')
Il n'y a pas de formule pour arg( z + z')
Forme trigonométrique - Notation exponentielle
♦ Cours sur la forme trigonométrique et exponentielle, en vidéo
Soit z un complexe de module r et d' argument α alors z = r · (cosα + isinα)
Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique. Pour trouver la forme trigonométrique:
calculer le module puis l'argument
On note e iα l'expression cosα + isinα
Donc si z est un complexe de module r et d' argument α alors z = r e iα
Cette écriture re iα s'appelle la forme exponentielle.
Ecrire Un Nombre Complexe Sous Forme Exponentielle Un
Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle. Produit [ modifier | modifier le wikicode]
Produit de deux nombres complexes. Or et, d'où. Au final, et. Produit de deux nombres complexes dans le cas général. Carré d'un nombre complexe
Le carré d'un nombre complexe a un module au carré et un argument qui double:. Carré d'un nombre complexe. Opposé d'un nombre complexe
Opposé d'un nombre complexe. Inverse et division [ modifier | modifier le wikicode]
Inverse d'un nombre complexe
car. Or. Inverse d'un nombre complexe. Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle trigo. Division de deux nombres complexes
Division de deux nombres complexes. Puissance [ modifier | modifier le wikicode]
Soit. Si:. Si, alors, d'où avec la propriété précédente, et on a:
car et. Puissance d'un nombre complexe
D'où. Les 10 premières puissances d'un nombre complexe. Ici le module tend vers 0 car le complexe en question se trouve à l'intérieur du cercle trigonométrique.
La forme exponentielle de est:
pour tous les arguments de. Reconnaître un nombre complexe sous sa forme exponentielle [ modifier | modifier le wikicode]
Tirer le module et un argument d'un nombre complexe sous sa forme exponentielle
Réciproquement, tout nombre complexe z non nul, qui s'écrit avec, a pour module r et a un argument égal à:
et. Si, alors, et on a:
Notez bien que. Conjugué [ modifier | modifier le wikicode]
Conjugué d'un nombre complexe sous sa forme exponentielle
Soit z un nombre complexe non nul, sous sa forme exponentielle:. Le conjugué de z s'écrit:. Démonstration
Le conjugué d'un nombre complexe. Complexes, forme exponentielle - Cours maths Terminale - Tout savoir sur les complexes - forme exponentielle. Exemple [ modifier | modifier le wikicode]
Écriture exponentielle et trigonométrique: Écrire un complexe sous ses différentes formes
1) Soit, écrire ce complexe sous forme exponentielle et trigonométrique:
Calcul du module:
Calcul de l'argument: d'où
Donc
2) Soit et, écrire ce complexe sous forme cartésienne. Calcul de la partie réelle:
Calcul de la partie imaginaire:
D'où
Propriétés des arguments et des modules [ modifier | modifier le wikicode]
Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle: et avec et.
Caractéristiques de l'objet Original/Licensed Reproduction:
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