C'est donc le spectre d'un signal périodique de période T. Pour simuler un spectre continu, T devra être choisi très grand par rapport à la période d'échantillonnage. Le spectre obtenu est périodique, de périodicité fe=N/T, la fréquence d'échantillonnage. 2. Signal à support borné
2. a. Exemple: gaussienne
On choisit T tel que u(t)=0 pour |t|>T/2. Considérons par exemple une gaussienne centrée en t=0:
dont la transformée de Fourier est
En choisissant par exemple T=10a, on a pour t>T/2
Chargement des modules et définition du signal:
import math
import numpy as np
from import *
from import fft
a=1. 0
def signal(t):
return (-t**2/a**2)
La fonction suivante trace le spectre (module de la TFD) pour une durée T et une fréquence d'échantillonnage fe:
def tracerSpectre(fonction, T, fe):
t = (start=-0. 5*T, stop=0. 5*T, step=1. 0/fe)
echantillons = ()
for k in range():
echantillons[k] = fonction(t[k])
N =
tfd = fft(echantillons)/N
spectre = T*np. absolute(tfd)
freq = (N)
for k in range(N):
freq[k] = k*1.
ylabel ( r "Amplitude $X(f)$")
plt. title ( "Transformée de Fourier")
plt. subplot ( 2, 1, 2)
plt. xlim ( - 2, 2) # Limite autour de la fréquence du signal
plt. title ( "Transformée de Fourier autour de la fréquence du signal")
plt. tight_layout ()
Mise en forme des résultats ¶ La mise en forme des résultats consiste à ne garder que les fréquences positives et à calculer la valeur absolue de l'amplitude pour obtenir l'amplitude du spectre pour des fréquences positives. L'amplitude est ensuite normalisée par rapport à la définition de la fonction fft. # On prend la valeur absolue de l'amplitude uniquement pour les fréquences positives
X_abs = np. abs ( X [: N // 2])
# Normalisation de l'amplitude
X_norm = X_abs * 2. 0 / N
# On garde uniquement les fréquences positives
freq_pos = freq [: N // 2]
plt. plot ( freq_pos, X_norm, label = "Amplitude absolue")
plt. xlim ( 0, 10) # On réduit la plage des fréquences à la zone utile
plt. ylabel ( r "Amplitude $|X(f)|$")
Cas d'un fichier audio ¶ On va prendre le fichier audio suivant Cri Wilhelm au format wav et on va réaliser la FFT de ce signal.
C'est donc le spectre d'un signal périodique de période T. Pour simuler un spectre continu, T devra être choisi très grand par rapport à la période d'échantillonnage. Le spectre obtenu est périodique, de périodicité fe=N/T, la fréquence d'échantillonnage. 2. Signal à support borné
2. a. Exemple: gaussienne
On choisit T tel que u(t)=0 pour |t|>T/2. Considérons par exemple une gaussienne centrée en t=0:
u ( t) = exp - t 2 a 2 dont la transformée de Fourier est
S ( f) = a π exp ( - π 2 a 2 f 2) En choisissant par exemple T=10a, on a | u ( t) | < 1 0 - 1 0 pour t>T/2
Chargement des modules et définition du signal:
import math
import numpy as np
from import *
from import fft
a=1. 0
def signal(t):
return (-t**2/a**2)
La fonction suivante trace le spectre (module de la TFD) pour une durée T et une fréquence d'échantillonnage fe:
def tracerSpectre(fonction, T, fe):
t = (start=-0. 5*T, stop=0. 5*T, step=1. 0/fe)
echantillons = ()
for k in range():
echantillons[k] = fonction(t[k])
N =
tfd = fft(echantillons)/N
spectre = T*np.
import as wavfile
# Lecture du fichier
rate, data = wavfile. read ( '')
x = data [:, 0] # Sélection du canal 1
# Création de instants d'échantillons
t = np. linspace ( 0, data. shape [ 0] / rate, data. shape [ 0])
plt. plot ( t, x, label = "Signal échantillonné")
plt. ylabel ( r "Amplitude")
plt. title ( r "Signal sonore")
X = fft ( x) # Transformée de fourier
freq = fftfreq ( x. size, d = 1 / rate) # Fréquences de la transformée de Fourier
# Calcul du nombre d'échantillon
N = x. size
# On prend la valeur absolue de l'amplitude uniquement pour les fréquences positives et normalisation
X_abs = np. abs ( X [: N // 2]) * 2. 0 / N
plt. plot ( freq_pos, X_abs, label = "Amplitude absolue")
plt. xlim ( 0, 6000) # On réduit la plage des fréquences à la zone utile
plt. title ( "Transformée de Fourier du Cri Whilhelm")
Spectrogramme d'un fichier audio ¶ On repart du même fichier audio que précédemment. Le spectrogramme permet de visualiser l'évolution des fréquences du signal au cours du temps. import as signal
import as wavfile
#t = nspace(0, [0]/rate, [0])
# Calcul du spectrogramme
f, t, Sxx = signal.
0
axis([0, fe/2, 0, ()])
2. b. Exemple: sinusoïde modulée par une gaussienne
On considère le signal suivant (paquet d'onde gaussien):
u ( t) = exp ( - t 2 / a 2) cos ( 2 π t b) avec b ≪ a.
b=0. 1
return (-t**2/a**2)*(2. 0**t/b)
t = (start=-5, stop=5, step=0. 01)
u = signal(t)
plot(t, u)
xlabel('t')
ylabel('u')
Dans ce cas, il faut choisir une fréquence d'échantillonnage supérieure à 2 fois la fréquence de la sinusoïde, c. a. d. fe>2/b. fe=40
2. c. Fenêtre rectangulaire
Soit une fenêtre rectangulaire de largeur a:
if (abs(t) > a/2):
return 0. 0
else:
return 1. 0
Son spectre:
fe=50
Une fonction présentant une discontinuité comme celle-ci possède des composantes spectrales à haute fréquence encore non négligeables au voisinage de fe/2. Le résultat du calcul est donc certainement affecté par le repliement de bande. 3. Signal à support non borné
Dans ce cas, la fenêtre [-T/2, T/2] est arbitrairement imposée par le système de mesure. Par exemple sur un oscilloscope numérique, T peut être ajusté par le réglage de la base de temps.
absolute(tfd)
freq = (N)
for k in range(N):
freq[k] = k*1. 0/T
plot(freq, spectre, 'r. ') xlabel('f')
ylabel('S')
axis([0, fe, 0, ()])
grid()
return tfd
Voyons le spectre de la gaussienne obtenue avec la TFD superposée au spectre théorique:
T=20. 0
fe=5. 0
figure(figsize=(10, 4))
tracerSpectre(signal, T, fe)
def fourierSignal(f):
return ()*(**2*f**2)
f = (start=-fe/2, stop=fe/2, step=fe/100)
spectre =np. absolute(fourierSignal(f))
plot(f, spectre, 'b')
axis([-fe/2, fe, 0, ()])
L'approximation de la TF pour une fréquence négative est donnée par:
S a ( - f n) ≃ T exp ( - j π n) S N - n La seconde moitié de la TFD ( f ∈ f e / 2, f e) correspond donc aux fréquences négatives. Lorsque les valeurs du signal sont réelles, il s'agit de l'image de la première moitié (le spectre est une fonction paire). Dans ce cas, l'usage est de tracer seulement la première moitié f ∈ 0, f e / 2. Pour augmenter la résolution du spectre, il faut augmenter T. Il est intéressant de maintenir constante la fréquence d'échantillonnage:
T=100.
get_window ( 'hann', 32))
freq_lim = 11
Sxx_red = Sxx [ np. where ( f < freq_lim)]
f_red = f [ np. where ( f < freq_lim)]
# Affichage
# Signal d'origine
plt. plot ( te, x)
plt. ylabel ( 'accélération (m/s²)')
plt. title ( 'Signal')
plt. plot ( te, [ 0] * len ( x))
plt. title ( 'Spectrogramme')
Attention Ici vous remarquerez le paramètre t_window('hann', 32) qui a été rajouté lors du calcul du spectrogramme. Il permet de définir la fenêtre d'observation du signal, le chiffre 32 désigne ici la largeur (en nombre d'échantillons) d'observation pour le calcul de chaque segment du spectrogramme.
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