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Suites adjacentes:
Dire que deux suites et sont adjacentes signifie que:
• L'une est croissante. • L'autre est décroissante. •
Considérons les deux suites numériques suivantes:. Donc
donc est croissante..
donc est décroissante. Conclusion:
Les deux suites et sont adjacentes. Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite. Reprenons notre exemple précédente:
Les deux suites et sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite. Nous pourrions montrer que:
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Théorème de comparaison
Démonstration:
On ne va montrer que le premier point, le second fonctionnant de la même façon. On appelle le rang à partir du quel on a. Soit un réel. Puisque, il existe un rang tel que,
pour tout entier naturel,. On appelle le maximum de et. Ainsi pour tout entier naturel on a. Par conséquent. Exemple: On considère la suite définie pour tout entier naturel par
Pour tout entier naturel, on a. Par conséquent
Et finalement. Fiche de révision BAC : les suites - Maths-cours.fr. Or donc d'après le théorème de comparaison on a. Soit un intervalle ouvert contenant. On appelle le rang à partir duquel
La suite converge vers. On appelle le rang à partir duquel tous les termes de la suite
appartiennent à. On appelle le plus grand des trois entiers et. Par conséquent, pour tout entier naturel, l'intervalle contient tous les termes
et. De plus on a. Donc. Les termes de la suite compris entre ceux des deux suites et
tendent vers la même limite. Exemple: On considère la suite définie pour tout entier naturel par. Du fait que pour tout entier naturel on a donc.
(on peut également montrer que le rapport u n + 1 u n \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est constant si on sait que la suite ( u n) (u_n) ne s'annule pas. ) En fonction de u 0: u n = u 0 q n u_0~:~u_n=u_0q^n
En fonction de u p: u n = u p q n − p u_p~:~u_n=u_pq^{n - p}
Pour tout réel q ≠ 1 q \neq 1:
1 + q + q 2 + ⋯ + q n = 1 − q n + 1 1 − q 1+q+q^2+\cdots+q^n =\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
si q > 1: lim n → + ∞ q n = + ∞ q>1~:~\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty; la suite est divergente;
si − 1 < q < 1: lim n → + ∞ q n = 0 - 1; la suite converge vers 0;
si q ⩽ − 1: q \leqslant - 1~: la suite est divergente (pas de limite);
pour q = 1 q=1, la suite est constante. Voir la fiche Algorithme de calcul des premiers termes d'une suite. Annales sur les suites | Méthode Maths. Initialisation: On montre que la propriété est vraie au premier rang (e. au rang 0). Hérédité: On montre que si la propriété est vraie à un certain rang, alors elle est vraie au rang suivant. Conclusion: On en déduit que la propriété est vraie pour tout entier naturel n n (ou pour tout entier n ⩾ n 0 n \geqslant n_0 si l'initialisation a été faite au rang n 0 n_0).
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Exemples:
La suite définie par converge vers. La suite définie par converge vers. (On verra une propriété justifiant ce résultat un peu plus loin). Remarque: Si une suite ne converge pas on dit qu'elle diverge. Il existe deux façons de diverger: les termes de la suite se rapprochent d'un infini ou la suite n'a vraiment pas de limite (exemple d'une suite alternée avec). Si alors. Fiche sur les suites terminale s blog. Remarque: Ce chapitre se prête très bien à des questions utilisant les algorithmes. Il est important d'avoir bien compris la notion de boucle
"Pour" et de boucle "Tant que". 2 Opérations sur les limites
On s'est rapidement posé la question de savoir s'il était possible d'ajouter, soustraire, multiplier ou diviser des limites entre-elles. C'est très souvent
possible mais il reste des cas où le résultat dépendra des suites utilisées. On appellera cela des formes indéterminées (FI): il est impossible de
dire à l'avance quelle sera la limite; il faudra fonctionner au cas par cas en cherchant une autre écriture du terme général de la suite.
Suite croissante majorée ou décroissante minorée. Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente. De même, une suite décroissante et minorée est convergente. Fiche sur les suites terminale s homepage. Théorème des gendarmes (Voir cours). Si la suite ( u n) (u_n) est définie de façon explicite on peut calculer la limite en utilisant les règles de calculs des limites (similaires à celles utilisées pour les fonctions). Dans ce cas, gardez aussi à l'esprit la formule donnant la limite de q n q^n (voir ci-dessous)
Pour montrer que la suite ( u n) (u_n) est arithmétique on calcule u n + 1 − u n u_{n+1} - u_n et on montre que le résultat est constant (indépendant de n n). Ce résultat est la raison de la suite arithmétique. En fonction de u 0: u n = u 0 + n r u_0~:~u_n=u_0+nr
En fonction de u p: u n = u p + ( n − p) r u_p~:~u_n=u_p+(n - p)r
1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1) 2 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
Comment montre-t-on qu'une suite ( u n) (u_n) est géométrique? On montre qu'il existe un réel q q, indépendant de n n, tel que pour tout entier naturel n n: u n + 1 = q u n u_{n+1}=qu_n.
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• Une suite est majorée lorsqu'il existe un réel M (un majorant) tel que. • Une suite est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que. • Une suite est bornée lorsqu'elle est majorée et minorée. · Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme:
· Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme:
Exemple:
· La suite définie par est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n'est pas majorée. · La suite définie par est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n'est pas minorée. · La suite définie par est bornée, majorée par 1 et minorée par -1. Théorème:
Une suite croissante et majorée est convergente. Une suite décroissante et minorée est convergente. Soit définie par et. Si converge vers et si f est continue en
alors
cette limite vérifie. Considérons définie par et. est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…). Les suites - TS - Fiche bac Mathématiques - Kartable. Donc converge vers d'après le théorème précédent. Posons
On est amené à résoudre
or
donc
d'où
II.
Prérequis: Tu auras besoin, dans ce chapitre, d'avoir bien compris le fonctionnement des suites (définie par récurrence ou explicitement), de savoir
utiliser les suites arithmétiques et géométriques. Enjeu: En complétant les notions vues en 1 re S, on va fournir des résultats sur le comportement en des suites. Ces résultats seront une première étape dans l'étude des limites de fonctions. Il est donc très important d'avoir bien compris ce chapitre. On verra également un nouveau type de raisonnement (par récurrence) qui permettra de démontrer des résultats que les raisonnements classiques
ne permettent pas toujours d'obtenir. 1 Limite d'une suite
Lorsqu'on calcule les différents termes d'une suite, on a parfois l'impression que les valeurs semblent tendre vers une valeur particulière, parfois non. Le but de cette partie est de fournir une base théorique à cette notion de valeur limite. Cela signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches de qu'on le souhaite.