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j ⃗ = 0 \vec{i}. \vec{j}=0. Par conséquent:
2. Applications du produit scalaire
Théorème (de la médiane)
Soient A B C ABC un triangle quelconque et I I le milieu de [ B C] \left[BC\right]. Alors:
A B 2 + A C 2 = 2 A I 2 + B C 2 2 AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\frac{BC^{2}}{2}
Médiane dans un triangle
Propriété (Formule d'Al Kashi)
Soit A B C ABC un triangle quelconque:
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B × A C cos ( A B →, A C →) BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)
La démonstration est faite en exercice: Exercice formule d'Al Kashi
Si le triangle A B C ABC est rectangle en A A alors cos ( A B →, A C →) = 0 \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0. Produits scalaires cours a la. On retrouve alors le théorème de Pythagore. Définition (Vecteur normal à une droite)
On dit qu'un vecteur n ⃗ \vec{n} non nul est normal à la droite d d si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de d d.
Vecteur n ⃗ \vec{n} normal à la droite d d
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O, i ⃗, j ⃗) \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right)
La droite d d de vecteur normal n ⃗ ( a; b) \vec{n} \left(a; b\right) admet une équation cartésienne de la forme:
a x + b y + c = 0 ax+by+c=0
où a a, b b sont les coordonnées de n ⃗ \vec{n} et c c un nombre réel.
Produits Scalaires Cours Simple
III. Analogie avec la physique
1. Cas de vecteurs colinéaires
En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J:
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = F × d
Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J:
W = - F × d
L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J). Produits scalaires cours simple. Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction: ils sont colinéaires. 2. Cas de vecteurs quelconques
Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a:
W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.
W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d. En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition. Ainsi, si sont deux vecteurs quelconques et est la projection orthogonale de sur, alors les vecteurs sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
\vec{u}
Exemple
A B C ABC est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 1 unité. A B →. A C → = A B × A C × cos ( A B →, A C →) = 1 × 1 × cos π 3 = 1 2 \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}
Propriété
Deux vecteurs u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si: u ⃗. Cours de maths Produit Scalaire et exercices corrigés. – Cours Galilée. v ⃗ = 0 \vec{u}. \vec{v}=0
Démonstration
Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc:
u ⃗. v ⃗ = 0 ⇔ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ × ∣ ∣ v ⃗ ∣ ∣ × cos ( u ⃗, v ⃗) = 0 ⇔ cos ( u ⃗, v ⃗) = 0 ⇔ u ⃗ \vec{u}. \vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et v ⃗ \vec{v} sont orthogonaux
Pour tous vecteurs u ⃗, v ⃗, w ⃗ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k k:
( k u ⃗).