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D'abord puis En mettant sur dénominateur commun et en développant on obtient et finalement en divisant les numérateur et dénominateur par 2
Voilà donc l'expression qui nous donne le nombre de triangle pointant vers le haut. Il reste à trouver v ( n). On considère le petit triangle de côté k pointant vers le bas dans ce triangle de côté n. Encore une fois, le sommet du triangle de k unités de côté doit obligatoirement se trouver dans la région rougeâtre sur le schéma. Combien de triangles dans cette figure solution d. Et, encore une fois, il y a un triangle possible à partir du haut, deux sur l'étage suivant, trois sur celui qui suit, et ce jusqu'au dernier étage. Ici, au dernier étage, il y aura toujours
triangles possibles. Cela signifie que pour un k et un n donnés, il y aura donc
triangles, ce qui se somme à ou plus simplement
Maintenant, quelle est la valeur maximale de k? Dans le cas d'un n pair, il est facile de voir que ce sera n /2. Dans le cas d'un n impair, ce sera plutôt ( n – 1)/2. Voilà où se trouvait la différence entre les n pairs et impairs pressentie à l'étape préliminaire du dénombrement.
Il contient 6 triangles encore plus grands de 3 unités de côté (ou composés de 9 petits triangles). Il contient 3 grands triangles de quatre unités de côté (ou composés de 16 petits triangles) et finalement 1 triangle de cinq unités de côté (ou composé de 25 petits triangles). On obtient bien
25 + 13 + 6 + 3 + 1 = 48
Non sans effort, vous pourrez dresser le tableau suivant pour les premières valeurs de n (en comptant séparément les plus petits triangles de côté k):
Et pourtant, encore une fois, aucune régularité ne semble transparaître (enfin pour moi…) J'ai soumis ce problème à mes élèves (pour leur montrer qu'un problème simple peut avoir une solution loin d'être triviale) et un de ceux-ci est venu me voir avec ses calculs. Il avait fait un tableau semblable au miens mais n'avait compté (par mégarde) que les triangles "à l'endroit", c'est-à-dire ceux qui pointent vers le haut. Ah! Fonction - combien y a t il de triangles ? - Forum mathématiques quatrième autre - 34940 - 34940. Erreur d'un élève? Nouvelle piste? Il s'avère que décomposer le problème en un problème de "nombre triangles pointant vers le haut" et "nombre triangles pointant vers le bas" (plutôt que "nombre de triangles de k unités de côté") s'avère drôlement fructueux.
Combien De Triangles Dans Cette Figure Solution Sur
Dans le cas d'un n pair, on trouve:
ce qui fait en sortant le facteur 1/2 de la sommation
et en développant On obtient alors dans un premier temps puis En développant davantage et simplifiant un peu on obtient ce qui fait En mettant sur dénominateur commun
et en regroupant les termes semblables on trouve finalement
Cette expression nous donne le nombre de triangles pointant vers le bas pour un n pair. Combien de triangles dans cette figure solution sur. Dans le cas d'un n impair, on aurait plutôt
ce qui fait en sortant le facteur 1/2 de la sommation et en développant Dans un premier temps, on a et dans un deuxième
En développant davantage et simplifiant un peu, on obtient puis en mettant sur dénominateur commun et en regroupant les termes semblables
Voilà! Cette expression nous donne le nombre de triangles pointant vers le bas pour un n impair. Il suffit maintenant de combiner ces résultats afin d'obtenir a ( n). On a
Dans le cas d'un n pair, on obtient ce qui fait, en mettant sur dénominateur commun puis en regroupant les termes semblables Finalement en divisant par 3 en haut et en bas, on obtient pour un n pair.
Publié le: 09/09/2020
Niveau intermédiaire
Niveau 2: Intermédiaire
sous licence Creative Commons
Certains comptent les moutons pour s'endormir, les citadins que nous sommes devenus sont aujourd'hui réduits à compter autre chose... comme des triangles par exemple. Découvrez comment l'étude d'un jeu peut faire aborder quelques règles fondamentales de dénombrement. Présentation du jeu
On s'intéresse ici à un casse-tête classique (dont quelques variantes simplifiées ont souvent été utilisées dans des concours de Mathématiques en collège, comme Kangourou). On considère une suite de triangles équilatéraux (c'est-à-dire dont la longueur des trois côtés est égale). Le triangle de base est celui dont les côtés sont égaux à 1. La suite est construite en ajoutant une ligne de petits triangles à la base du précédent, comme c'est illustré dans la figure 1. Le jeu consiste à énumérer tous les triangles équilatéraux, quelle que soit leur longueur, contenus dans le k -ième terme de cette suite. L'objectif visé est de déterminer combien l'élément k possède de triangles équilatéraux pour n'importe quelle valeur de k. Combien y a-t-il de triangles ? – The Dude Minds…. On note ce nombre \(N_k\).