Manque
de bol, $L=1$ est exactement le cas où d'Alembert ne permet pas de
conclure. Alors on essaie Raabe-Duhamel. Il faut qu'on ait un développement asymptotique $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1
- \dfrac{r}{n} + o\bigg(\dfrac{1}{n}\bigg)$, puis qu'on compare $r$ à
$1$. On apprend déjà un truc: la règle de Raabe-Duhamel est un raffinement
de la règle de d'Alembert: lorsqu'on dispose d'un tel développement
asymptotique, il est clair que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ a une limite
finie, donc on pourrait être tenté par d'Alembert, mais cette limite est
$1$, donc on est dans le cas précis d'indétermination de d'Alembert. Pourtant, sous couvert de fournir un peu plus de travail (à savoir, le
développement asymptotique), Raabe-Duhamel sait conclure parfois. Règle de Raabe-Duhamel — Wikipédia. Je vais faire le calcul pour $b$ quelconque, comme c'est requis pour l'exercice version Gourdon. $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}
= \dfrac{n+a}{n+b}=\dfrac{n+b+(a-b)}{n+b}=1-\dfrac{(b-a)}{n+b}$. On
n'est pas loin. Il faut écrire $\dfrac{1}{n+b}$ comme
$\dfrac{1}{n}+o\bigg(\dfrac{1}{n}\bigg)$, donc
$\dfrac{1}{n+b}=\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n}\epsilon_n$ avec $\epsilon_n
\longrightarrow 0$.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé De La
Et justement, la cerise sur le gâteau: le cas $b=a+1$ se règle avec Gauss, et permet de voir au passage que la règle de Gauss est encore un raffinement de Raabe-Duhamel. Gauss permet de conclure quand on a un développement asymptotique de la forme $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \dfrac{r}{n} + \mathcal{O}\bigg( \dfrac{1}{n^k}\bigg)$ avec $\boxed{k>1}$: $\displaystyle \sum u_n$ converge $\Longleftrightarrow r>1$. Mais ça, c'est bon: pour rappel, d'après tout à l'heure, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1-\dfrac{(b-a)}{n}+(b-a)\dfrac{1}{n}\dfrac{b}{(n+b)}=1-\dfrac{(b-a)}{n}+\dfrac{1}{n^2}\dfrac{b(b-a)}{(1+b/n)}$, et $\dfrac{1}{n^2}\dfrac{b(b-a)}{(1+b/n)} = \mathcal{O}\bigg( \dfrac{1}{n^2}\bigg)$ car $\dfrac{b(b-a)}{(1+b/n)}$ converge (donc est borné à partir d'un certain rang). Règle de raabe duhamel exercice corrigé du bac. Ici, $k=2$, donc $k>1$, Gauss s'applique. Donc $\displaystyle \sum u_n$ converge $\Longleftrightarrow (b-a) >1$, donc quand $b>a+1$. Notre dernier cas d'indétermination est divergent. Nota Bene: "au propre", évidemment, il suffit de claquer le critère de Gauss pour tout faire d'un coup.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé Du Bac
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Sami
9490 mots | 38 pages
diverge. Ecrivant la STG un comme somme d'une série convergente et d'une série divergente, on obtient que la série de terme général un diverge. 2
Exercices - Séries numériques - étude pratique: corrigé
4. On va utiliser la règle de d'Alembert. Pour cela, on écrit: un+1 un = (n + 1)α × exp n ln(ln(n + 1)) − ln ln n nα × ln(n + 1) n+1
Or, la fonction x → ln(ln x) est dérivable sur son domaine de définition, de dérivée x → 1 x ln x. On en déduit, par l'inégalité des accroissements
Les series numeriques
6446 mots | 26 pages
proposition:
Proposition 1. 3. 1
Soit
un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn)n est majorée
Preuve. Il suffit d'appliquer la remarque (1. 1) et de se rappeler que les suites croissantes et
majorées sont convergentes. Théorème 1. 1 (Règle de comparaison)
un
vn deux séries à termes positifs. Les-Mathematiques.net. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout
n ∈ N. Alors:
1.
vn converge =⇒
2.
un diverge =⇒
un converge. vn diverge. n
1) un ≤ vn =⇒ Sn =
k=0
un ≤
application de la loi dans le temps
7062 mots | 29 pages
10 Le théorème de d'Alembert peut se déduire de celui de Cauchy en utilisant
un+1
√
le théorème 22.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé 2
$$
Enoncé Montrer que la série de terme général $u_n=\frac{\cos(\ln n)}{n}$ est divergente. Enoncé Étudier les séries de terme général:
$u_n=\sin(\pi e n! )$ et $v_n=\sin\left(\frac{\pi}{e}n! \right). $
$\displaystyle u_n=\frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}{n^\alpha}$, pour $\alpha\in\mtr. $
Comparaison à une intégrale
Enoncé Suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, déterminer la nature de la série $\sum_n u_n$, où
$$u_n=\frac{\sqrt 1+\sqrt 2+\dots+\sqrt n}{n^\alpha}. $$
Enoncé On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha, \beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général
$$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}. $$
Démontrer que la série converge si $\alpha>1$. Règle de raabe duhamel exercice corrigé de la. Traiter le cas $\alpha<1$. On suppose que $\alpha=1$. On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente. Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
7. Par croissance comparée des suites géométriques et la suite factorielle, le terme général ne tend pas vers 0, sauf si a = 0. La série n un est donc convergente si et seulement si a = 0. 8. On écrit tout sous forme exponentielle: On a alors et donc La série est convergente. 1 n. ne −√ n = exp(ln n − √ n). exp(ln n − √ n) exp(−2 ln n) = exp(3 ln n − √ n) → 0 ne −√ n 1 = o n2. 1
Un indice proche de 100 indique que la pièce ou le billet est rare parmi les membres de Numista, tandis qu'un indice proche de 0 indique que la pièce ou le billet est plutôt courant. »
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Pièces de monnaie françaises de 10 francs: des pièces très recherchées par les collectionneurs
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Les pièces de monnaie françaises sont parmi les pièces les plus émises au fil des années et des siècles. On trouve différents types de pièces de 10 francs français:
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Les émissions de monnaies en or de pièces de 10 francs ont été effectuées principalement au XIXe siècle:
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