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de Saint Ouen sur Seine
(93400)
Lieu
78113
BOURDONNE
Nombre de pièces
5 pièces
Référence
2022-1401
Point de départ des enchères
246 000 €
Surface
139. 50
m 2
78120
RAMBOUILLET
4 pièces
2022-1402
320 000 €
131. 80
78160
MARLY-LE-ROI
2022-1403
370 000 €
109. 40
78490
GROSROUVRE
2022-1404
360 000 €
161. 07
93160
NOISY-LE-GRAND
RER
A
Noisy-Champs
6 pièces
2022-1501
Mise à prix
243 000 €
124. LISTE DE BIENS EN VENTE | IMMO NOTAIRES ENCHÈRES. 12
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3. Signe d'un polynôme du second degré
On peut déterminer le signe d'un polynôme du
second degré rapidement à partir de sa
forme factorisée, en ayant en tête l'image
mentale de sa courbe représentative. a. Cas le plus fréquent: 2 racines
distinctes
Soit f une
fonction polynôme de degré 2 telle
qu'il existe 3 réels a, x 1
et x 2 tels
que f ( x) = a ( x – x 1)( x – x 2). Il y a 2 possibilités pour la parabole
représentant f:
Si a > 0
La parabole est tournée vers le haut et coupe
l'axe des abscisses en changeant de signe
pour x = x 1
et pour x = x 2. On sait ainsi que:
f ( x) ≤ 0
pour tout réel x dans [ x 1,
x 2]
f ( x) ≥ 0
pour tout réel x dans]–∞; x 1] ∪ [ x 2; +∞[
Résoudre 3( x + 4)( x – 5) < 0:
On reconnait la forme factorisée d'un
polynôme de degré 2 avec a = 3.
a > 0 donc
la parabole est tournée vers le haut, avec
x 2 = –4
et x 1 = 5. L'ensemble solution de l'inéquation est donc
[–4; 5]. Si a < 0
La parabole est tournée vers le bas et coupe
l'axe des abscisses en changeant de signe pou
x = x 1
Résoudre –3( x + 4)( x – 5) < 0:
On reconnaît la forme factorisée d'un
polynôme de degré 2 avec a = –3.
Signe D'un Polynôme Du Second Degré
Sommaire – Page 1ère Spé-Maths
9. 1. Courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$. Définition 1. Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par: $P(x)=ax^2+bx+c$. Alors, la courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)$ (orthogonal suffit), s'appelle une parabole. Il existe deux cas de paraboles suivant le signe du coefficient $a$ de $x^2$. Ce qui nous donne le théorème suivant:
Théorème 8. Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. La courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath}, \vec{\jmath} \right)$ est une parabole ayant deux branches et un sommet $S(\alpha; \beta)$ $\bullet$ $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$; $\bullet$ La droite (parallèle à l'axe des ordonnées) d'équation $x=\alpha$ est un axe de symétrie de la parabole; $\bullet$ Si $a>0$, la parabole dirige ses branches vers le haut $\smile$; c'est-à-dire vers les $y$ positifs.
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ce qu'il faut savoir... Déterminer un ensemble de définition
Étudier le signe d'un polynôme
Dresser un tableau de signes
Résoudre une inéquation
Représenter une parabole
Trouver les coordonnées du sommet
Calculer un axe de symétrie
Exercices pour s'entraîner
$\bullet$ Si $a<0$, la parabole dirige ses branches vers le bas $\frown$; c'est-à-dire vers les $y$ négatifs. Éléments caractéristiques de ${\cal P}$ suivant la forme de l'expression algébrique de $P(x)$. Théorème 9. $\bullet$ Si on connaît la forme développée réduite: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors, $S(\alpha; \beta)$, avec: $$\alpha=\dfrac{-b}{2a} \quad\textrm{et}\quad \beta=P(\alpha)$$ $\bullet$ Si on connaît la forme factorisée: $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $a\neq 0$. Alors: $$\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\quad\textrm{et}\quad\beta=P(\alpha)$$ $\bullet$ Si on connaît la forme canonique: $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq 0$. Alors: $$S(\alpha; \beta)$$ $\quad-$ Si $\beta=0$, alors $x_0=\alpha$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $S(x_0;0)$ $\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, alors $P(x)$ garde un signe constant et ne se factorise pas. $\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, alors $P(x)$ se factorise à l'aide de l'identité remarquable n°3. Sens de variation
Théorème 10.