Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths 1 ère > PROBABILITÉ ET STATISTIQUES
I. Arbre pondéré et probabilités conditionnelles
Sur l'arbre pondéré ci-dessus,
le chemin matérialisé en rouge représente la réalisation de l'évènement A suivie de celle de l'événement C. Probabilité conditionnelle et independence de la. On suppose que l'évènement A a une probabilité non nulle. La probabilité de réalisation de l'événement C sachant que A est déjà réalisé se note p A (C),
et se lit « probabilité de C sachant A »;
c'est le poids de la branche secondaire qui relie les événements A et C.
p A (C) est une probabilité conditionnelle, car la réalisation de C dépend de celle de A. A savoir
Sur les branches secondaires d'un arbre pondéré, on lit toujours une probabilité conditionnelle. La règle concernant la probabilité de l'issue (A ET C) s'applique ici aussi:
p(A C) = p(A) p A (C), d'où la formule suivante: Formule des probabilités conditionnelles
A et B étant deux événements avec A de probabilité non nulle, on a:
soit
Propriété: (on remarquera que le conditionnement doit se faire
par rapport au même événement, ici A) II.
Probabilité Conditionnelle Et Independence Plus
I Rappels
On considère deux événements $A$ et $B$ d'un même univers $\Omega$. Définition 1:
On appelle événement contraire de $A$, l'événement constitué des issues n'appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$. Exemple: Dans un lancer de dé, on considère l'événement $A$ "Obtenir un $1$ ou un $2$". L'événement contraire est $\overline{A}$ "Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$". Probabilité conditionnelle et independence st. Définition 2:
L'événement "$A$ ou $B$", noté $A \cup B$ et se lit "$A$ union $B$", contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$. Remarque: Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$. Exemple: Dans un lancer de dé, on appelle $A$ l'événement "Obtenir $1$, $2$ ou $3$" et $B$ l'événement "Obtenir $3$ ou $5$". L'événement $A \cup B$ est "Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$". Définition 3:
L'événement "$A$ et $B$", noté $A \cap B$ et se lit "$A$ inter $B$", contient les issues communes à $A$ et $B$. L'événement $A \cap B$ est "Obtenir $3$". Définition 4:
Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l'événement $A \cap B$ est impossible.
Probabilité Conditionnelle Et Indépendante Sur Les
Exercices - Probabilités conditionnelles et indépendance: énoncé Probabilités conditionnelles Exercice 1 - CD-Rom - Deuxième année - ⋆ Le gérant d'un magasin d'informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que: – 60% des boîtes abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux. – 98% des boïtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux. Un client achète une boite du lot. On désigne par A l'événement: "la boite est abimée" et par D l'événement "la boite achetée contient au moins une disquette défectueuse". 1. Donner les probabilités de P (A), P ( Ā), PA(D), P (D| Ā), P ( ¯ D|A) et P ( ¯ D| Ā). 2. Probabilités et statistiques - Probabilité conditionnelle et indépendance | Khan Academy. Le client constate qu'un des CD-ROM acheté est défectueux. Quelle est a la probabilité pour qu'il ait acheté une boite abimée.
Probabilité Conditionnelle Et Independence De La
Les élèves demi-pensionnaires représentent 55% des secondes, 50% des premières et 35% des terminales. On note S: «l'élève est en seconde»;
P: «l'élève est en première»;
T: «l'élève est en terminale»;
D: «l'élève est demi-pensionnaire». Probabilité conditionnelle et independence plus. La situation peut se représenter par l'arbre pondéré ci-contre:
Les événements S, P et T créent une partition de l'univers car tous les élèves sont associés à un niveau, aucun niveau n'est vide et, aucun élève ne fait partie de deux niveaux différents. La probabilité que l'élève soit en seconde et demi pensionnaire est: $P(S\cap D)=PS(D)\times P(S)$
=0, 55×0, 4=0, 22
En utilisant la formule des probabilités totales, on peut déterminer la probabilité de l'événement D
$ P(D)=P(D\cap S)+P(D\cap P)+P(D\cap T) $ = $P_{S}(D)\times
P(S)+P_{P}(D)\times P(P)+P_{T}(D)\times P(T) $ = $0, 55\times
0, 4+0, 5\times 0, 3+0, 35\times 0, 3=0, 475 $
On peut aussi se demander quelle est la probabilité que l'élève soit en seconde sachant qu'il est demi pensionnaire c'est-à-dire $P_{D}(S).
Probabilité Conditionnelle Et Independence
Exemple:
l'événement « obtenir un 5 au lancer d'un dé » n'a aucune influence sur
l'événement « extraire un 10 de coeur dans un jeu de 32 cartes ». 2. Propriétés
Soit A et B deux événements indépendants et de probabilités non nulles. On a:
la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation de A, et inversement. et
Remarque: démontrer l'une ou l'autre de ces égalités suffit à prouver que A et B sont indépendants. Probabilités conditionnelles et indépendance - Fiche de Révision | Annabac. et B sont indépendants
A et sont indépendants
et sont indépendants
attention: ne pas confondre indépendants et incompatibles! EXEMPLE:
On considère l'arbre des probabilités suivant, où A et B désignent deux événements d'un univers. 1. Calculer, p(A B), p(B),
2. A et B sont-ils indépendants? Exemple: solution
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Publié le 02-12-2020
Merci à malou / carita pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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• la formule des probabilités composées, qui se réduit à P (A ∩ B) = P (A) P (B) dans le cas où A et B sont indépendants; • la formule P (A ∩ B) = P (A) + P (B) – P (A ∪ B). Calculer des probabilités conditionnelles avec un tableau Dans un sac, il y a des pièces anciennes qui sont soit en or (O), soit en argent (A). Certaines proviennent du pays X, les autres du pays Y. On prélève une pièce au hasard. a. Interpréter et compléter le tableau ci-contre. b. Quelle est la probabilité que la pièce soit en or et du pays X? c. Montrer que la probabilité qu'elle soit en or sachant qu'elle provient du pays X est égale à 3 7. TS - Cours - Probabilités conditionnelles et indépendance. d. Les événements O et X sont-ils indépendants? e. Vérifier que le tableau ci-contre, comptant les pièces dans un autre sac, est cohérent. Ici, les événements O et X sont-ils indépendants? conseils a. 100% des pièces proviennent des pays X et Y. Calculez la probabilité d'une intersection. c. Le mot-clé est « sachant ». Utilisez la définition de la fiche. e. Reprenez les raisonnements précédents.
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