Théorie analytique de la chaleur (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site BibNum.
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Equation Diffusion Thermique Examples
On considère le cas simplifié de l'équation en une dimension, qui peut modéliser le comportement de la chaleur dans une tige. L'équation s'écrit alors:
avec T = T ( x, t) pour x dans un intervalle [0, L], où L est la longueur de la tige, et t ≥ 0. On se donne une condition initiale:
et des conditions aux limites, ici de type Dirichlet homogènes:. L'objectif est de trouver une solution non triviale de l'équation, ce qui exclut la solution nulle. On utilise alors la méthode de séparation des variables en supposant que la solution s'écrit comme le produit de deux fonctions indépendantes:
Comme T est solution de l'équation aux dérivées partielles, on a:
Deux fonctions égales et ne dépendant pas de la même variable sont nécessairement constantes, égales à une valeur notée ici −λ, soit:
On vérifie que les conditions aux limites interdisent le cas λ ≤ 0 pour avoir des solutions non nulles:
Supposons λ < 0. Equation diffusion thermique unit. Il existe alors des constantes réelles B et C telles que. Or les conditions aux limites imposent X (0) = 0 = X ( L), soit B = 0 = C, et donc T est nulle.
Equation Diffusion Thermique Analysis
En reportant cette solution dans le schéma explicite, on obtient:
La valeur absolue maximale de σ est obtenue pour cos(β)=-1. On en déduit la condition de stabilité:. Pour le schéma de Crank-Nicolson, on obtient:
|σ| est inférieur à 1, donc le schéma est inconditionnellement stable. Méthode. 2. e. Discrétisation des conditions limites
La discrétisation de la condition de Dirichlet (en x=0) est immédiate:
On pose donc pour la première équation du système précédent:
De même pour une condition limite de Dirichlet en x=1 on pose
Une condition limite de Neumann en x=0 peut s'écrire:
ce qui donne
Cependant, cette discrétisation de la condition de Neumann est du premier ordre, alors que le schéma de Crank-Nicolson est du second ordre. Pour éviter une perte de précision due aux bords, il est préférable de partir d'une discrétisation du second ordre ( [1]):
Un point fictif d'indice -1 a été introduit. Pour ne pas avoir d'inconnue en trop, on écrit le schéma de Crank-Nicolson au point d'indice 0 tout en éliminant le point fictif avec la condition ci-dessus ( [1]).
Equation Diffusion Thermique Method
Problèmes inverses [ modifier | modifier le code]
La solution de l'équation de la chaleur vérifie le principe du maximum suivant:
Au cours du temps, la solution ne prendra jamais des valeurs inférieures au minimum de la donnée initiale, ni supérieures au maximum de celle-ci. L'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles stable parce que des petites perturbations des conditions initiales conduisent à des faibles variations de la température à un temps ultérieur en raison de ce principe du maximum. Equation diffusion thermique method. Comme toute équation de diffusion l'équation de la chaleur a un effet fortement régularisant sur la solution: même si la donnée initiale présente des discontinuités, la solution sera régulière en tout point de l'espace une fois le phénomène de diffusion commencé. Il n'en va pas de même pour les problèmes inverses tels que:
équation de la chaleur rétrograde, soit le problème donné où on remplace la condition initiale par une condition finale du type;
la détermination des conditions aux limites à partir de la connaissance de la température en divers points au cours du temps.
Equation Diffusion Thermique Des Bâtiments
Il est donc décrit par une équation de type diffusion, la loi de Fourier:
où est la conductivité thermique (en W m −1 K −1), une quantité scalaire qui dépend de la composition et de l' état physique du milieu à travers lequel diffuse la chaleur, et en général aussi de la température. Cours 9: Equation de convection-diffusion de la chaleur: Convection-diffusion thermique. Elle peut également être un tenseur dans le cas de milieux anisotropes comme le graphite. Si le milieu est homogène et que sa conductivité dépend très peu de la température [ a], on peut écrire l'équation de la chaleur sous la forme:
où est le coefficient de diffusion thermique et le laplacien. Pour fermer le système, il faut en général spécifier sur le domaine de résolution, borné par, de normale sortante:
Une condition initiale:;
Une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple:
condition de Dirichlet:,
condition de Neumann:, donné. Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier [ modifier | modifier le code]
L'une des premières méthodes de résolution de l'équation de la chaleur fut proposée par Joseph Fourier lui-même ( Fourier 1822).
Ces problèmes sont mal posés et ne peuvent être résolus qu'en imposant une contrainte de régularisation de la solution. Généralisations [ modifier | modifier le code]
L'équation de la chaleur se généralise naturellement:
dans pour n quelconque;
sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l' opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien. Notes et références [ modifier | modifier le code]
Notes [ modifier | modifier le code]
↑ Si le milieu est homogène sa conductivité est une simple fonction de la température,. Alors elle ne dépend de l'espace que via les variations spatiales de la température:. Diffusion de la chaleur - Unidimensionnelle. Si dépend très peu de (), alors elle dépend aussi très peu de l'espace. Références [ modifier | modifier le code]
↑ Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, connu à travers un abrégé paru en 1808 sous la signature de Siméon Denis Poisson dans le Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris, t. I, p. 112-116, n°6.