Cas des matrices carrées d'ordre en Maths Sup
1. Définitions des matrices carrées d'ordre
Si,
a) les éléments forment la diagonale de. On dit que ce sont les éléments diagonaux de. b) est dite diagonale lorsque. c) est dite triangulaire supérieure lorsque tels que. d) est dite triangulaire inférieure lorsque tels que. e) est dite triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou inférieure. 2. Propriétés du produit matriciel en Maths Sup
Le produit matriciel dans s'écrit:
si et,
est défini et. où,. D: On définit la matrice unité d'ordre par. Rappel:
P1: est un anneau. P2: Si,. Si,. 3. Puissance -ième d'une matrice carrée
D: Si, on définit par récurrence:
et si. (si, on démontre que est le produit de matrices. Résumé de cours et méthodes sur les matrices ECG1. ) Formule du binôme de Newton. Si vérifie, pour tout,. 4. Base canonique de
D: Si, on définit
P1: On note. La famille est une base, dite base canonique, de..
P2: Décomposition de:. P3: Produit de deux éléments de la base canonique. 5. Sous-espaces vectoriels particuliers en Maths Sup
P1: L' ensemble des matrices carrées d'ordre diagonales à coefficients dans est un s. v de de dimension.
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Matrice d'une application linéaire Matrice: développement autour des matrices représentatives des applications linéaires Ce cours est d'un niveau de technicité élevée, il suppose donc de maîtriser d'abord quelques concepts fondamentaux d'algèbre linéaire. Ce cours n'est pas un cours de « découverte » des matrices (somme, produit, inverse…) mais va un peu moins loin. Il s'adresse donc en priorité à des étudiants en classes préparatoires scientifiques MPSI, PCSI, PTSI. Les étudiants de ECS et de prépa BCPST et d'ECE 2ème année peuvent également suivre ce cours. Soyez bien concentré(e) et faites le lien avec le cours espaces vectoriels et applications linéaires. Résumé de cours : Matrices et applications linéaires. Découvrez un cours complet niveau prépa sur les matrices, et en particulier autour de la matrice représentative d'une application linéaire, avec Olivier BÉGASSAT, normalien Ulm, professeur à Optimal Sup Spé. Vous pouvez regarder cette vidéo si vous êtes actuellement en: prépa scientifique MPSI, PCSI, PTSI, TSI1 prépa scientifique MP(*), PC(*), PSI(*), PT(*), TSI2 prépas ECS (ECE: 2ème année uniquement) prépas BCPST ou B/L université de sciences ou d'économie Attention: cette vidéo ne s'adresse pas à des élèves de Terminale.
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avec,. P2: L'application,
est un isomorphisme d'espaces vectoriels. 4. Application linéaire canonique- ment associée à
D3: C'est l'unique application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques
de et de est égale à,
soit,. 5. Endomorphisme canoniquement associé à
D4: C'est l'unique endomorphisme dont la matrice dans la base canonique
de est égale à,
6. Produit matriciel et applications linéaires
Soient, et trois -espaces vectoriels de bases respectives,,. P4: Si et,
soit. P5: Si et si,
P6: Si et,. P7: Si,. 7. Noyau, image et rang d'une matrice
D5: Soient et l'application linéaire canoniquement associée à.
D6: Soient et l'application linéaire canoniquement associée à. On appelle rang de le rang de. Cours matrice : cours de maths sur les matrices en Maths Sup. C'est le nombre maximal de vecteurs colonnes de formant une famille libre. On le note. P8: Soit. si,
P9: Soit un -ev de base
Le rang de la famille de est le rang de la matrice de dans la base. P10: Soient et sa matrice dans les bases et,. 8. Compléments sur les matrices inversibles
T1: Soit.
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Si $E$ et $F$ ont même dimension, alors $u$ est inversible si et seulement si $\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)$ est inversible. Dans ce cas, on a
$$\textrm{Mat}_{(\mathcal C, \mathcal B)}(u^{-1})=\big[\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)\big]^{-1}. $$
Si $A\in\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)$, alors $A$ induit une application linéaire $u_A:\mathbb K^p \to\mathbb K^n$
définie par $u_A(X)=AX$ où on identifie un vecteur de $\mathbb K^p$ (resp. $\mathbb K^n$) et le vecteur colonne formé des coordonnées de ce vecteur
dans la base canonique. Fiche résumé matrices calculator. Le noyau, l' image, et le rang de $A$
sont alors par définition le noyau, l'image et le rang de l'endomorphisme associé. Le rang de $A$ est aussi le rang des vecteurs colonnes
qui la compose. Changements de base
$E, F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie. Soit $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de $E$. La matrice de passage de la base $\mathcal B_1$ à la
base $\mathcal B_2$ est la matrice de la famille de vecteurs $\mathcal B_2$ dans la base $\mathcal B_1$.
Si le système s'écrit (puisque la dernière équation est):
soit encore
Le système admet une infinité de solutions
Méthode 5: Montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse. Fiche résumé matrices balancing measurements inference. On rappelle que la matrice carrée d'ordre est dite inversible s'il existe une matrice telle que La matrice est alors unique et on la note
On sait que s'il existe une matrice carrée de même ordre que telle que ou telle que alors est inversible et
On rappelle aussi qu'une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si, et seulement si, le produit des termes diagonaux est non nul. Voici diverses méthodes pour montrer qu'une matrice carrée d'ordre est inversible et calculer son inverse:
On peut résoudre le système c'est-à-dire étant donnée une matrice colonne arbitraire à lignes, existe t-il unique de type telle que? Si oui, est inversible, sinon elle ne l'est pas. Lorsqu'elle est inversible, on obtient en exprimant en fonction de
Si l'on a un polynôme annulateur de de terme constant on peut isoler et factoriser par le reste de l'expression pour faire apparaître une relation du type (ou) et pour conclure que est inversible d'inverse
Exemple: Montrer que la matrice est inversible et calculer son inverse.
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Soient et,
avec
et. est définie par
où si et,. Si, est définie par
Lorsque, l'ensemble est noté. 2. Propriétés de matrices en Maths Sup
P1: est un – espace vectoriel. P2: Si,
on définit
par
i. e. tous les éléments de sont nuls sauf celui situé en ligne et colonne qui est égal à 1. On note. La famille est une base de, appelée base canonique de..
P3: Décomposition de:. B. Produit matriciel en Maths Sup
1. Définition du produit matriciel en Maths Sup
Si et,
où
et,
2. Produit d'une matrice de type par une matrice colonne,,
alors,
si,. Fiche résumé matrices 3. 3. Propriétés d'un prpduit matriciel
Si les produits et sommes sont définis, et si,
C.
4. Puis clique Ok bouton, toutes les plus petites valeurs sont sélectionnées et localisées en même temps. Voir les captures d'écran:
Cliquez pour en savoir plus sur la fonction Sélectionner les cellules avec valeur maximale et minimale. Excel : Adressage absolu et adressage relatif. Téléchargez gratuitement Kutools pour Excel maintenant
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H:H;EQUIV(GAUCHE($B3;10);'Données essais'! $B:$B;0)-5+$H3)
EQUIV retrouve la ligne de la date dans Données Essai, à laquelle on soustrait 5 car elle est 5 lignes plus bas que le titre et on rajoute le n° du point ce qui donne la bonne ligne qu'INDEX va chercher dans la colonne H
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