Partie Question On se place dans le plan \(\epsilon_3\) muni d'un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). Vérifier que les trois points \(A\), \(B\), \(C\), de coordonnées respectives \((2, 0, 1)\), \((3, 1, 1)\), \((1, -2, 0)\), ne sont pas alignés. Trouver une équation cartésienne du plan \(Q\) passant par les trois points \(A\), \(B\), \(C\). Aide simple Les point \(A\) et \(B\) ayant pour coordonnées respectives \((x_A, y_A, z_A)\) et \((x_B, y_B, z_B)\), le triplet des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \((x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)\). Aide méthodologique Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont linéairement dépendants (colinéaires). Le plan passant par les trois points \(A\), \(B\), \(C\) est le plan passant par \(A\) et de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\); on peut donc utiliser la même méthode que dans l'exercice précédent, c'est-à-dire: Un point \(M\) appartient au plan \(Q\) passant par le point \(A\) et de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) si et seulement si la famille \(\{\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\}\) est liée, donc si et seulement si le déterminant de ces trois vecteurs est nul.
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C'est parti II-EQUATION CARTESIENNE D'UNE DROITE c'est une equation de la forme ax+by+c=0 avec a, b et c des reels avec a different de 0 ou b different de 0. on se contantera d'etudier cette partie a l'aide d'un exemple. activite: soit A(-1;2) et B(1;1) dans un repere cartesien. determinons une equation cartesienne de la droite (AB) solution: calculons les coordonnees du vec(AB) vec(AB) a pour abscisse [1-(-1)]=2 et pour ordonnee (1-2)=-1 AB(2;-1) soit M(x;y) appartenant a la droite (AB) alors vec(AM) et vec(AB) sont colineaires donc leur determinant est nul. les coordonnees de vec(AM) sont [(x+1);(y-2)] ona: 2(y-2)+1(x+1)=0 ona mis + car -(-1)=+1 2y-4+x+1=0 (AB): x+2y-3=0 III-EQUATION CARTESIENNE D'UN CERCLE 1-connaissant son rayon Soit C un cercle de centre A(xA;yA) et de rayon R. on se propose de determiner une equation cartesienne de C. voici comment proceder. soit M(x;y) un point de C alors ona:AM=R si et seulement si AM2=R2 si et seulement si (x-xA)+(y-yA)=R2 C:(x-xA)+(y-yA)=R2 2-connaissant son diametre: soit C un cercle de diametre [AB] avec A(xA;yA) et B(xB;yB) se propose de determiner une equation cartesienne de C.
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Orthogonalité d'un vecteur et d'un plan Un vecteur est orthogonale à un plan s'il est orthogonale à toute les droites de ce plan et donc à tous les vecteurs appartenant à ce dernier. On dit alors que ce vecteur est "normal" au plan. Si un vecteur est orthogonale à un plan P alors pour tout vecteur de P est perpendiculaire à et donc leur produit scalaire est nul:. =0 Remarques: Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan il suffit de démonter qu'un de ses vecteur directeur est orthogonale à ce plan. Si un vecteur est orthogonal à un plan, tout vecteur qui lui est colinéaire est aussi ortogonal à ce plan. Forme générale de l'équation cartésienne d'un plan L'équation cartésienne d'un plan peut être établie à partir d'un de ses points (par exemple A(x A;y A;z A)) et d'un vecteur normal (a; b; c).
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". Il ne faut en effet pas oublier que si x+y+z+2=0 est une équation d'un plan Q, 3x+3y+3z+6=0 en est aussi une. On a donc une certaine liberté, tu obtiendras donc 3 inconnues en fonction d'une 4ème et cette 4ième, tu pourras choisir sa valeur. Posté par littleguy re: Déterminer une équation cartésienne d'un plan 20-05-10 à 17:53 Bonjour
> flowflow
Avec ta méthode contente-toi de = 0 et = 0 (ça suffit) et tu obtiendras deux équations et trois inconnues a, b, c. Infinité de solutions (une inconnue arbitraire, tu choisis). Tu auras donc des valeurs numériques pour a, b, c. Pour trouver ensuite d, tu remplaces dans l'équation ax+by+cz+d=0 x, y et z par exemple par les coordonnées de A
Bonjour Mariette
Posté par Mariette re: Déterminer une équation cartésienne d'un plan 20-05-10 à 18:00 bonjour
Posté par flowfloww re: Déterminer une équation cartésienne d'un plan 20-05-10 à 18:58 Merci, merci, mais je n'y arrive tjrs pas, je ne comprend pas ce que inconnue arbitraire signifie. :S
Posté par Mariette re: Déterminer une équation cartésienne d'un plan 20-05-10 à 19:12 ça veut dire que tu peux la choisir simplement.
Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est normal à P, donc P admet une équation cartésienne de la forme x+3y-z+d=0. Etape 3 Déterminer d en utilisant les coordonnées du point On utilise les coordonnées du point A pour déterminer d. Comme A est un point du plan, d est obtenu en résolvant l'équation suivante d'inconnue d: ax_A+by_A+cz_A+d=0 Le point A\left(2;1;1\right) est un élément du plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation de P. On a donc: 2+3\times1-1+d=0 Soit finalement: d=-4 On peut donc conclure que ax+by+cz+d=0 est une équation cartésienne du plan P. Une équation cartésienne de P est donc x+3y-z-4=0. Méthode 2 En redémontrant la formule On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan en réutilisant la démarche de la démonstration vue en cours. L'énoncé nous fournit directement: Un point A de P: A\left(2;1;1\right) Un vecteur normal à P: \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} Etape 2 Écrire la condition d'appartenance d'un point M au plan P Un point M\left(x;y;z\right) est un élément de P si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{n} sont orthogonaux, donc si et seulement si \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0.
Ce délai est augmenté de deux mois pour les créanciers domiciliés hors de France métropolitaine; RG n°: 17/00237 Date de prise d'effet: 15/03/2017 Entreprise(s) émettrice(s) de l'annonce Dénomination: ELLE EST BELLE Code Siren: 798364261 Forme juridique: S. A. R. L.
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