On appelle équation différentielle du second ordre une équation différentielle faisant intervenir une fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde. etc. L'équation y''+100y=0 est une équation différentielle du second ordre. Cours équations différentielles terminale s variable. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par: f(x)=\sin(-10x) Alors f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x: f'(x)=-10\cos(-10x) f' est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x: f''(x)=-10\times (-10)\times \left[-\sin(-10x)\right] f''(x)=-100\sin(-10x) Ainsi pour tout réel x, on obtient: f''(x)+100f(x)=-100\sin(-10x)+100\sin(-10x) f''(x)+100f(x)=0 La fonction f est solution sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y''+100y=0. II Les équations différentielles du premier ordre à coefficients constants Parmi les équations différentielles, les équations du type y'=ay+b avec a et b réels sont des équations faisant intervenir la fonction exponentielle dans l'expression des solutions sur \mathbb{R}. Soit un réel a. Les solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle y'=ay sont les fonctions du type x\mapsto k\text{e}^{ax} où k est un réel quelconque.
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La conducto-convection en Terminale
La conducto-convection est un mode de transfert thermique entre un fluide et un bloc solide au niveau de la paroi de ce solide au contact du fluide. Si on note l'aire de la surface de contact, la température de la paroi et la température du fluide loin de la paroi, alors si le fluide est plus chaud que la paroi, la puissance thermique (ou flux) conducto-convective transférée du fluide au solide est donnée par la loi de Newton. Les équations différentielles ( en Terminale Spécialité Maths ) – Bienvenue sur coursmathsaix , le site des fiches méthodes en mathématiques.. où est le coefficient de transfert conducto-convectif entre le fluide et la paroi, exprimé en
2. Corps au contact d'un thermostat: établissement de l'équation différentielle
Un corps solide, de capacité thermique et d'aire est plongé dans un fluide formant un thermostat, dont la température loin du corps reste constante
Le corps a une température uniforme supposée uniforme (partout la même), égale à celle de sa paroi. Cette température évolue au cours du temps soit. On applique le premier principe de la thermodynamique au corps entre deux dates et où est une durée très brève
Le corps est solide, donc indéformable et le travail qu'il reçoit est nul.
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Soient $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $a, b$ deux fonctions continues définies sur $I$
et à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Une équation
$$y'+a(x)y=b(x)$$
s'appelle une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Résoudre une telle équation différentielle,
c'est trouver toutes les fonctions dérivables $y$ définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ vérifiant, pour tout $x\in I$,
$y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$. Dans la suite, on supposera toujours que $a, b$ sont continues sur $I$. L' équation homogène associée est l'équation $y'+a(x)y=0$. Proposition (structure de l'ensemble des solutions): Soit $y_P$ une solution de $y'+a(x)y=b(x)$,
appelée solution particulière de l'équation. Les équations différentielles - Tle - Cours Mathématiques - Kartable. Alors toute solution $y$ s'écrit $y_P+z$, où $z$ est une solution de l'équation homogène. Réciproquement, toute fonction s'écrivant $y_P+z$,
où $z$ est une solution de l'équation homogène, est solution de l'équation différentielle. La proposition précédente nous dit que pour résoudre l'équation différentielle générale, il suffit de trouver une solution particulière et de résoudre
l'équation homogène.
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D. Transfert thermique par rayonnement en Terminale
1. Le rayonnement est le seul transfert thermique possible dans le vide
Il s'opère par émission de rayonnement électromagnétique de la part d'un corps et par absorption d'une partie de ce rayonnement par un autre corps. Notons que ce transfert se fait toujours réciproquement, mais la puissance surfacique rayonnée par un corps chaud est plus grande que celle émise par un corps froid. Cours thermodynamique terminale : Méthodes et cours gratuit. 2. Loi de Stefan-Boltzmann
La puissance rayonnée par un corps de température de surface, dont la surface a une aire, émet une puissance thermique (ou flux thermique) rayonnée
où est la constante de Stefan. 3. Température d'équilibre de la surface terrestre, effet de serre
Le globe terrestre et son atmosphère est assimilé à une sphère de surface. Il est frappé par une fraction du rayonnement solaire, du côté où il fait jour. La puissance moyenne correspondante vaut avec
Une partie de ce rayonnement est réfléchie vers le cosmos, la fraction appelée albédo
La puissance solaire absorbée vaut donc
La surface du globe terrestre est à la température
Il émet donc un rayonnement donné par la loi de Stefan Boltzmann
L'atmosphère terrestre absorbe une fraction de ce rayonnement
Seule la puissance est donc émise vers le cosmos
À l'équilibre, la puissance absorbée est égale à la puissance émise
donc
soit une température d'équilibre d'environ
E. Transfert thermique par convection en Terminale Générale
1.
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La « convention du banquier » indique qu'on compte positivement une énergie reçue et négativement une énergie cédée par un système. Le transfert thermique se fait spontanément des corps les plus chauds vers les corps les plus froids. Cours équations différentielles terminale s world. 4. Un système thermodynamique reçoit ou cède du travail
Un système thermodynamique reçoit ou cède du travail lorsqu'il y a déplacement d'une pièce mobile à l'échelle macroscopique
un piston se déplace en maintenant l'étanchéité d'un piston en forme de cylindre
une turbine tourne sous l'action du mouvement d'un fluide. Lors du déplacement d'un piston d'aire, d'une distance, sous l'action de la pression constante d'un gaz extérieur
avec un signe + si le volume du système emprisonné dans le piston diminue et un signe – si ce volume augmente
est exprimé en joules. 5. Premier principe de la thermodynamique en terminale
Pour un système macroscopiquement au repos (le centre ne se déplace pratiquement pas), recevant un transfert thermique et un travail (grandeurs algébriques selon la convention du banquier), la variation d'énergie interne entre l'état initial et l'état final vaut
C.
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Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y y'=ay ( 4 exercices) Exercice 3 Exercice 4 Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y y'=ay avec une condition ( 3 exercices) Exercice 3 Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y + b y'=ay+b ( 2 exercices) Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y + b y'=ay+b avec une condition ( 4 exercices) Exercice 2 Exercice 3 Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = a y + f y'=ay+f ( 5 exercices) Exercice 4 Les classiques... en devoir ( 3 exercices)
Or f est solution de
l'équation différentielle
y ' = ay,
on a donc f ' ( x) = a f ( x). Ainsi:
g ' ( x) = – e – ax af ( x) + e – ax f
' ( x)
g ' ( x) = – e – ax f ' ( x) + e – ax f ' ( x)
g ' ( x) = 0
La fonction g est de
dérivée nulle, c'est donc
une fonction constante. Ainsi g ( x) = e – ax f ( x) = C,
avec, d'où f ( x) = Ce ax. b. Autres solutions de l'équation
différentielle y' = ay
Si f
et g
sont deux solutions de l'équation
différentielle y ' = ay,
avec, alors f + g
et kf (avec k
une constante) sont également solutions de
l'équation différentielle. Soient f
et g deux solutions de
l'équation
différentielle y ' = ay. On a alors f ' = af
et g ' = ag. ( f + g) ' = f ' + g ' = af + ag = a ( f + g)
( kf) ' = kf ' = kaf = a ( kf). c. Exemple
On cherche les solutions de l'équation
différentielle y ' = 2 y. Les solutions de ce type d'équation
s'écrivent sous la forme f ( x) = Ce 2 x,
avec C
une constante qui appartient à. On représente ci-dessous quelques exemples de
solutions pour différentes valeurs
de C.
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15. Le tapis de jeu et d'activité
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