Maths de première: exercice d'exponentielle avec signe et variation. Fonctions, coordonnée, point d'inflexion, convexe, concave, tangente. Exercice N°337:
On considère la fonction f définie sur R par l'expression:
f(x) = (2x + 1)e x. 1) Étudier le signe de la fonction f. 2) Étudier les variations de la fonction f. 3) Calculer la dérivée de f ' appelée f ' ' (x) et donner son signe. 4) Donner l'équation de la tangente à C f au point d'abscisse a = – 5 / 2. Fonction exponentielle - Cours Maths Normandie. Soit la fonction g définie sur R par
g(x) = xe x. 5) Calculer la dérivée g ' (x). 6) Calculer la dérivée seconde g ' ' (x) et donner son signe. h(x) = e x / ( x – 1). 7) Calculer h ' (x). k(x) = 0, 9 x. 8) k est-elle une fonction croissante sur R? k est-elle une fonction positive sur R? Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11). Exercice 1: étude de fonction [ modifier | modifier le wikicode]
ƒ est la fonction définie sur par:
pour tout. 1. Étudier les variations de ƒ. 2. Étudier la limite de ƒ en. 3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation. 4. Étudier les positions relatives de et. 5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2. Étudier le signe d une fonction exponentielle avec. Solution
ƒ est dérivable sur et, pour tout:
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante. 3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres:
une partie affine:
une partie qui tend vers 0:
Si on pose, définie sur et de représentation graphique, on a:
Donc a pour asymptote la droite d'équation
Pour tout, grandeur négative. Donc est en-dessous de son asymptote
D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est:
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 2: étude de fonction [ modifier | modifier le wikicode]
On en déduit que ƒ est croissante.
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17€ pour 4 – 1. 37€ pour 5 – 1. 57€ pour 6 – 1. 67€ pour 7 – 1. 77€ pour 8 – 1. 87€ pour 9 et 1. 97€ pour 10 et +. Mots-clés de l'exercice: exercice, exponentielle, signe, variation. Exercice précédent: Exponentielle – Inéquations, équations, dérivées – Première
Ecris le premier commentaire
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Critère important: il faut trouver les racines de la dérivée seconde. À la recherche des racines de
Probables points d'inflexion obliques en {} Insérez les racines de la dérivée seconde dans la dérivée troisième: La dérivée troisième ne contient plus la variable x, donc l'insertion de la racine donne 6 6, qui est plus grande que 0, il y a donc un point d'inflexion croissant (courbure concave -> convexe) en. Insérer 0 dans la fonction: Point d'inflexion oblique (0|0)
On a:
1 - x >0 ⇔ x < 1
∀ x ∈ R - {-1}, (1 + x)² > 0 car une expression au carré est toujours positive. Dresser le tableau de signes de f'(x)
On a plus qu'à récapituler les signes de chaque facteur composant f'(x) dans un tableau de signes pour en déduire le signe de f'(x) en fonction des valeurs de x:
Pour tout, grandeur positive. Donc est au-dessus de son asymptote
Exercice 3: dérivation [ modifier | modifier le wikicode]
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. 1. 2. 3. 4. Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur. Étudier le signe d une fonction exponentielle film. Cette fonction se dérive comme un produit. On pose sur les fonctions et
Leurs dérivées sont définies par et
Finalement, pour tout
Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. On remarque que pour tout
On va utiliser ce théorème de niveau 11
La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée. On a
On pose sur la fonction
On dérive selon:
La dérivée de est définie par
On obtient
Soit, pour tout
Exercice 4: dérivation [ modifier | modifier le wikicode]
5. 6. 7. Sa dérivée est définie par
Comme, on a pour tout
Pour tout
Exercice 5: étude de fonction [ modifier | modifier le wikicode]
Pour tout réel λ > 0, on note ƒ λ la fonction définie sur par:
pour tout
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1997: début des travaux de mise aux normes de sécurité du tunnel de Fourvière (fermetures fréquentes la nuit). 2006: limitation de vitesse au tunnel de Fourvière à 70 km/h au lieu de 90 km/h auparavant. Ouverture de l'échangeur Villefranche-Nord 31. 1 (celui situé au niveau du péage étant renuméroté en 31. 2) le vendredi 10 novembre à 16; le poste de péage est entièrement automatisé. 2007: début de l'automatisation des péages sur certains échangeurs la nuit. 2012: couverture de l'A6b entre Le Kremlin-Bicêtre et Arcueil. Aire du chien blanc autoroute a6 pour. 2015: ouverture, au nord de Lyon, du barreau autoroutier A466 entre les directions sud des autoroutes A6 et A46. 2015: fin des travaux de régénération des chaussées au sud d'Évry, par fractionnement et recouvrement des dalles de béton de la chaussée originelle entre la RN 104 au nord et la RN 37 au sud.
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Please note Use of services is subject to the terms and conditions in our disclaimer. L'autoroute A6 (surnommée autoroute du Soleil) est une autoroute qui relie le sud-est de Paris et Lyon, en France, en empruntant la vallée de la Saône. Elle est prolongée par l'A7 pour rejoindre Marseille. L'autoroute A6 est exploitée par la société Autoroutes Paris-Rhin-Rhône. Elle mesure 460 km de long. Elle fait partie des routes européennes E15, E21 et E60. Profitez d'une petite pause pour déloger une petite cache en drive'in. Additional Hints
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1969: ouverture des tronçons entre Avallon et Pouilly-en-Auxois ainsi qu'entre Villefranche-sur-Saône et Mâcon-Nord. Inauguration d'une portion gratuite entre Anse et Limonest. 1970: dernière ouverture d'une portion payante entre Pouilly-en-Auxois et Mâcon-Nord. Inauguration, par le président de la République Georges Pompidou, de la liaison autoroutière Marseille - Lille, à l'aire de repos de Savigny-lès-Beaune. Brioche Doree Eguilly - Aire De Chien Blanc A6 EGUILLY (21320), Restaurant - 0380907425 - horaires, ouvert le dimanche. Cette aire, à équidistance de Lille et de Marseille, comporte une plaque commémorative rappelant cet événement. 1971: fin de la construction de l'A6 le 8 décembre avec l'ouverture du tunnel de Fourvière et achèvement de l'axe Paris - Lyon (455 km). 1972: ouverture de l'A6b entre Cachan et Le Kremlin-Bicêtre. 1975: la SAPL devient la SAPRR (Société des Autoroutes Paris-Rhin-Rhône). 31 juillet 1982: accident d'autocar à Beaune faisant plus de 50 morts. À la suite de ce drame, on décide de doter l'autoroute de glissières de sécurité centrales (chaussées autrefois séparées par une simple bande végétale sans barrière) et l'autoroute s'élargit à 2×3 voies entre Beaune et Lyon puis entre Auxerre et Paris (la section de 30 km comprise entre l'A19 et l'A77 demeure toutefois en 2×2 voies).
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