Arithmétique dans Z - Cours sur Arithmétique - 2 Bac SM - 1 Bac SM - [Partie 1] - YouTube
Arithmétique Dans Z 2 Bac Sm
La liste des nombres N possibles est:
{1001;1008;2002;2009;3003;4004;5005;6006;7000;7007;8001;8008;9002;9009}
* Exercice 14 *
1) a) Soient n, a, b, c et d des entiers tels que n≥0, a≡b[n] et c≡ d[n]
D'après le pré-requis:
a=b[n] si, et seulement si, il existe un entier k tel que a-b=k n.
c≡d[n] si, et seulement si, il existe un entier k' tel que c-d=k'n. Alors:
ac=(b+kn)(d+k'n)=bd+n(bk'+dk+k k'n). Or, bk'+dk+k k'n∈Z,
par conséquent ac≡bd[n]
2)
\(4^{0}≡1[7]\);\(4^{1}≡4[7]\);\(4^{2}≡16≡2[7]\);\(4^{3}≡64≡1[7]\);
On conjecture donc que:
pour tout entier naturel n:
*si n=0 [3] alors 4n=1 [7]. Arithmétique dans z 2 bac sm. *si n=1 |3] alors 4n=4 [7]. *si n=2 [3] alors 4n=2 [7]. Montrons alors cette conjecture:
*si n=0 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k. Par conséquent \(4n=4^{3k}=(4^{3})^{k}\)≡1^{k} [7] ≡ 1[7]\)
*si n=1 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+1. Par conséquent \(4n=4^{3k+1}=(4^{3})^{k}×4\)≡1^{k}×4 [7] ≡ 4[7]\)
*si n=2 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+2. Par conséquent \(4n=4^{3k+2}=(4^{3})^{k}×4^{2}\)≡1^{k}×16 [7] ≡ 2[7]\)
De plus, 1, 4 et 2 sont des entiers des l'intervalle [0;7[.
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2. Congruence A. Nombres congrus
Soient a et b deux entiers relatifs. Soit n un entier naturel non nul. On dit que b est congru à a modulo n, si la différence b-a est un multiple de n (si n divise b-a). Les autres fiches de révisions
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1) Soit `a, b, alpha, beta` des entiers relatifs tels que ` a= balpha +beta`. Montrer que tout diviseur commun de ` a` et `b` est un diviseur de `beta`
2) Soit `(x, y)` deux entiers naturels
a) Montrer que ` [7 text{/} 4x+3y text { et} 7 text { /} 7x+5y] => ` `[ 7 text {/} x text{ et} 7 text{/} y]`
b) Cas général: soit `(u, v, alpha, beta) in Z^4` et `d` est un diviseur commun des entiers `ux+vy` et `alphax+betay`. Montrer que si ` abs(ubeta -valpha)=1 ` alors `d` est un diviseur commun de `x` et `y `
Arithmétique Dans Z 1 Bac Small
On dit que $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ est la décomposition en produit de facteurs premiers
de $n$. Si $n\geq 2$ et $p$ est un nombre premier, on appelle valuation $p$-adique de $n$, et on note $v_p(n)$,
le plus grand entier $k\geq 0$ tel que $p^k|n$. La valuation $p$-adique de $n$ est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers
Application au calcul du pgcd et du ppcm: si $a, b\geq 2$ se décomposent sous la forme
$$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$$
$$b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}$$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et $\alpha_i, \beta_i\in\mathbb N$, alors
\begin{eqnarray*}
a\wedge b&=&p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdots p_r^{\min(\alpha_r, \beta_r)}\\
a\vee b&=&p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdots p_r^{\max(\alpha_r, \beta_r)}. \end{eqnarray*}
Congruences
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs et $n$ un entier naturel. Résumé de cours : Arithmétique. On dit que $a$ et $b$ sont congrus modulo n
s'il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $a-b=kn$. On note
$$a\equiv b\ [n].
Déterminer le résultat affiché par un algorithme. Modifier un algorithme. Antilles Guyane septembre 2015 Exo 4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $51x-26y=1$. Asie 2015 Exo 4. Difficulté: assez difficile par endroit. Thèmes abordés: (nombres triangulaires qui sont des carrés
parfaits)
Centres étrangers 2015 Exo 4. Longueur: assez court. Thèmes abordés: (triplets pythagoriciens)
Manipulations diverses. France métropolitaine/Réunion septembre 2015 Exo 3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $15u-26v=1$. Coder et décoder un message. Montrer que deux lettres différentes sont codées par deux lettres
différentes. Polynésie septembre 2015 Exo 4. Arithmétique dans z 1 bac s physique chimie. Difficulté: pas classique et pouvant déstabiliser. Thèmes abordés: (somme des diviseurs d'un entier)
Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique. Pondichéry 2015 Exo 4. Thèmes abordés: (nombres de
Mersenne)
Utilisation de congruences pour étudier une divisibilité. Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique. Montrer qu'un nombre est premier.
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Accueil / Types de cuisine / Japonais Les restaurants japonais sont partout en France, et on en trouve aujourd'hui quasiment à tous les coins de rues. La saveur complexe de cette cuisine et son esthétique raffinée la rendent très appréciée par les gourmands de tous les âges. Une soirée à organiser? Un repas japonais sortira de l'ordinaire tout en ravissant vos convives. japonais - Entrez votre code postal pour trouver des résultats à proximité Connectez-vous pour vos adresses récentes. japonais | les restaurants les mieux notés à France Filtrer par: Filtrer par ville: Excellents ingrédients. Le choix à la carte est particulièrement appréciable. Seul bémol: la portion du pot de sauce est petite C'était excellent! Les meilleurs restaurants japonais et coréens en livraison à Paris - Sortiraparis.com. Copieux et les aliments sont très bons! On recommandera! Très bon produit, un peu de sauce sur le riz est c'est parfait C'était délicieux et très frais, merci beaucoup! Meilleur poke que j ai gouté sur paris! un délice. Je me croirais a hawaii Très surpris de la qualité des produits!