On suppose que est continue sur et admet une limite finie en. On note pour et. On suppose
Si est strictement compris entre et, il existe tel que. Correction d'exercice sur la généralisation du théorème des valeurs intermédiaires en Terminale
est continue sur donc est continue sur. Si,. Continuité sur. est continue sur à valeurs dans
est continue sur
La composée est continue sur. par composition des limites,,
ce qui s'écrit,
ce qui prouve la continuité de en. On applique le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction continue,
est strictement compris entre et, il existe tel que. avec. Terminale ES/L : Continuité et Convexité. Alors prend sur toute valeur entre et ( exclu). 6. Déterminer des fonctions, chapitre de la continuité en Terminale
Exercice pour déterminer des fonctions
Soit une fonction définie sur et continue en telle qu'il existe tel que pour tout réel,
Si, on peut exprimer en fonction de
Si, est constante. Correction de l'exercice pour déterminer des fonctions
On établit la formule à démontrer par récurrence en calculant, etc …
Soit.
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On dit dans ce cas que la fonction f est continue en ou encore qu'elle est continue au point x0 « Point » est à prendre ici au
sens d'un résultat valable ponctuellement par opposition à un résultat valable sur tout un intervalle. Cours sur la continuité terminale es strasbourg. ( cas que nous allons voir dans la suite)
la fonction f est donc continue en x0 si et seulement si:
Ou encore, si et seulement si:
Autrement dit: si la limite existe et vaut f (x)
3/ Cas n°2: discontinuité en un point
Si M0 n'est pas un point de la courbe de f alors: f (x0) f étant une fonction, sa courbe ne peut passer par deux points qui ont même abscisse mais une ordonnée différente, il y a alors un « saut » dans le tracé. La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant x0 « sans lever le crayon ». On dit que la fonction f n'est pas continue en x0 ou encore qu'elle est discontinue en x0
Dans le cas de discontinuité illustré, et f (x0), mais le cas
de discontinuité la plus fréquemment rencontrée est le cas d'une fonction définie de façon différente à gauche et à droite de x0
Exemple:
Soit f définie sur R par:
Donc, la limite en 0 n'existe pas.
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u ′ ( x) = 3 u'(x)=3 et v ′ ( x) = 2 x v'(x)=2x
i ′ ( x) = 3 ( x 2 − 3) − 2 x ( 3 x + 1) ( x 2 − 3) 2 = − 3 x 2 − 2 x − 9 ( x 2 − 3) 2 \begin{array}{ccc}
i'(x)&=&\dfrac{3(x^2-3)-2x(3x+1)}{(x^2-3)^2}\\
&=& \dfrac{-3x^2 -2x-9}{(x^2-3)^2}\\
3. Variation d'une fonction
Propriété:
f f est une fonction définie et dérivable sur I I de dérivée f ′ f'. Alors on a:
si f ′ ( x) > 0 f'(x)>0 sur I I, alors f f est croissante sur I I;
si f ′ ( x) < 0 f'(x)<0 sur I I, alors f f est décroissante sur I I;
si f ′ ( x) = 0 f'(x)=0 sur I I, alors f f est constante sur I I. Exemple:
On définit f f sur R \mathbb R par f ( x) = x 3 − 3 x + 1 f(x)=x^3-3x+1. On calcule sa dérivée: f ′ ( x) = 3 x 2 − 3 f'(x)=3x^2-3. Il faut étudier le signe de f ′ f':
f ′ ( x) > 0 ⟺ 3 x 2 − 3 > 0 ⟺ x 2 > 1 ⟺ x > 1 ou x < − 1 f'(x)>0\Longleftrightarrow 3x^2-3>0\Longleftrightarrow x^2>1\Longleftrightarrow x>1\textrm{ ou} x<-1. On peut alors dresser le tableau de variations de la fonction f f:
II. Terminale – La continuité : Continuité des fonctions usuelles. Continuité et convexité
1. Continuité
Une fonction f f est dite continue sur un intervalle [ a; b] \lbrack a\;b\rbrack si on peut tracer sa représentation graphique sur cet intervalle "sans lever le stylo".
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Par convention, dans un tableau de variation, les flèches indiquent évidemment que la fonction est strictement monotone, mais aussi qu'elle est continue. La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous. Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $\[-3;7\]$. D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue sur $\[-3;7\]$. Or, 12 est un nombre compris entre $f(-3)=25$ et $f(7)=8$,
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $\[-3;7\]$. Cours sur la continuité terminale es 7. Théorème de la bijection
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $\[a;b\]$,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $\[a;b\]$. Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet exactement 2 solutions, la première entre -2 et 2, la seconde entre 2 et 10. D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $\[-2;2\]$. Or 12 est un nombre compris entre $f(-2)=20$ et $f(2)=9$,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=12$ admet une unique solution $c_1$ sur $\[-2;2\]$.
sur) est une fonction continue en (resp. sur). Si est continue en (resp. sur), la fonction est continue en (resp. sur). Si ne s'annule pas sur, si et sont continues en (resp sur), est continue en (resp sur). Conséquences:
toute fonction polynôme est continue sur
tout quotient de fonctions polynômes est une fonction continue sur son domaine de définition. La fonction exponentielle est continue sur
Composition. Soit définie sur à valeurs dans, définie sur à valeurs dans et. On suppose que pour tout. si est continue en et si est continue en, est continue en. si est continue sur et si est continue sur, est continue sur
Si est définie sur l'intervalle et dérivable en, est continue en. 3. Continuité et suites convergentes
T1: Image d'une suite convergente par une application continue. Cours sur la continuité terminale es histoire. Si est définie sur à valeurs dans et, pour toute suite de qui converge vers, la suite converge vers. Penser à vérifier que. T2: Théorème du point fixe
Soient et la suite de points de définie par et pour tout. Si la suite converge vers un réel et si, vérifie.
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