A n A_{n} forment une partition de Ω \Omega, pour tout événement B B, on a:
p ( B) = p ( A 1 ∩ B) + p ( A 2 ∩ B) + ⋯ p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right)+p\left(A_{2} \cap B\right)+ \cdots + p ( A n ∩ B). +p\left(A_{n} \cap B\right). Cette formule peut également s'écrire à l'aide de probabilités conditionnelles:
p ( B) = p ( A 1) × p A 1 ( B) p\left(B\right)=p\left(A_{1} \right)\times p_{A_{1}}\left(B\right) + p ( A 2) × p A 2 ( B) + ⋯ +p\left(A_{2} \right)\times p_{A_{2}}\left(B\right)+\cdots + p ( A n) × p A n ( B) +p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right). Cours probabilité cap de. En utilisant la partition { A, A ‾} \left\{A, \overline{A}\right\}, quels que soient les événements A A et B B:
p ( B) = p ( A ∩ B) + p ( A ‾ ∩ B) p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right)+p\left(\overline{A} \cap B\right)
p ( B) = p ( A) × p A ( B) + p ( A ‾) × p A ‾ ( B) p\left(B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right). À l'aide d'un arbre pondéré, ce résultat s'interprète de la façon suivante:
« La probabilité de l'événement B B est égale à la somme des probabilités des trajets menant à B B ».
Cours Probabilité Cap L
80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme. On choisit un élève au hasard et on note:
G G: l'événement « l'élève choisi est un garçon »;
F F: l'événement « l'élève choisie est une fille »;
B B: l'événement « l'élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ». On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous:
Le premier niveau indique le genre de l'élève ( G G ou F F) et le second indique l'obtention du diplôme ( B B ou B ‾ \overline{B}). On inscrit les probabilités sur chacune des branches. La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d'un même nœud est toujours égale à 1. 3. Probabilités conditionnelles
Soit A et B deux événements tels que p ( A) ≠ 0 p\left(A\right)\neq 0, la probabilité de B sachant A est le nombre:
p A ( B) = p ( A ∩ B) p ( A). p_{A}\left(B\right)=\frac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}. On peut aussi noter cette probabilité p ( B / A) p\left(B/A\right). On reprend l'exemple du lancer d'un dé. La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité):
p E 2 ( E 1) = p ( E 1 ∩ E 2) p ( E 2) = 1 3. Cours probabilité cap france. p_{E_{2}}\left(E_{1}\right)=\frac{p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)}{p\left(E_{2}\right)}=\frac{1}{3}.
Cours Probabilité Cap France
C. F. Académie de Clermont-Ferrand - "Enquête sur les habitudes des clients d'un restaurant "
C. Académie de Clermont-Ferrand - "Argent de poche"
Cours Probabilité Cap 3
$$
Formule de Bayes pour $n$ événements: Soit $A_1, \dots, A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Alors, pour tout $j\in\{1, \dots, n\}$, on a
$$P(A_j|B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}. $$
Cours Probabilité Cap De
{Diagramme de Venn - Intersection}
Définition
On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅ A \cap B=\varnothing
Remarque
Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires. « Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles. Statistiques - Portail mathématiques - physique-chimie LP. Propriétés
p ( ∅) = 0 p\left(\varnothing\right)=0
p ( Ω) = 1 p\left(\Omega \right)=1
p ( A ‾) = 1 − p ( A) p\left(\overline{A}\right)=1 - p\left(A\right)
p ( A ∪ B) = p ( A) + p ( B) − p ( A ∩ B) p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right). Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient:
p ( A ∪ B) = p ( A) + p ( B) p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right). 2. Arbre
Lorsqu'une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter. Dans une classe de Terminale, 52% de garçons et 48% de filles étaient candidats au baccalauréat.
On appelle système complet d'événements de $\Omega$ toute famille finie
d'événements $A_1, \dots, A_n$ vérifiant:
les événements sont deux à deux incompatibles: $$\forall i, j\in\{1, \dots, n\}^2, \ i\neq j, \ A_i\cap A_j=\varnothing;$$
leur réunion est $\Omega$: $\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$. Cours probabilité cap l. Espace probabilisé fini
On appelle probabilité sur l'univers $\Omega$ toute application $P:\mathcal P(\Omega)\to [0, 1]$ vérifiant $P(\Omega)=1$
et pour tout couple de parties disjointes $A$ et $B$ de $\Omega$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Le couple $(\Omega, P)$ s'appelle
alors un espace probabilisé fini. Propriétés des probabilités:
$P(\varnothing)=0$;
Pour tout $A\in\mathcal P(\Omega)$, $P(\bar A)=1-P(A)$;
Pour tous $A, B\in\mathcal P(\Omega)$, $A\subset B\implies P(A)\leq P(B)$;
Pour tous $A, B\in\mathcal P(\Omega)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$;
Pour toute famille $A_1, \dots, A_p$ d'événements deux à deux incompatibles,
$$P(A_1\cup\dots\cup A_p)=P(A_1)+\dots+P(A_p). $$
Pour tout système complet d'événements $A_1, \dots, A_p$,
$$P(A_1\cup\dots\cup A_p)=1.
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