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Comme toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9 (car donc pour tout entier naturel n, ), chaque terme de la forme est congru à modulo 9, et donc la somme de ses termes est congrue à modulo 9. Considérons alors un entier naturel b dont l'écriture décimale est. Il sera alors congru modulo 9 à. Alors,
Considérons alors un entier naturel c dont l'écriture décimale est. Il sera alors congru modulo 9 à
Si, alors
Ses limites [ modifier | modifier le code]
La preuve par neuf est mise en défaut
si des chiffres sont permutés, car leur somme est inchangée;
si l'écart entre le nombre trouvé après le calcul et le résultat est un multiple de 9. Par exemple, si le résultat est 1992 et qu'on trouve 1092, l'erreur ne sera pas détectée: pour ces deux nombres, l'algorithme sur la somme des chiffres donnera: 3. Donc la preuve par neuf est sujette aux faux positifs. On dira que la preuve par 9 est une condition nécessaire, mais pas suffisante. Généralisation [ modifier | modifier le code]
La preuve par 9 fonctionne grâce à l' arithmétique modulaire et au fait que le modulo neuf est égal au reste de la somme des chiffres en base dix modulo neuf.
Preuve Par L'assemblée
En arithmétique, la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou effectué « à la main ». Malgré son nom, cette technique n'est pas une preuve mathématique, car elle peut montrer qu'un résultat est erroné, mais si la technique ne trouve pas d'erreur, elle ne permet pas de conclure que le résultat est correct. Le principe général est de refaire le calcul beaucoup plus simplement, en remplaçant chaque nombre supérieur ou égal à 10 par la somme de ses chiffres, de façon répétée. Cette technique est en fait une application des propriétés de l' arithmétique modulaire puisqu'elle revient à calculer modulo 9. [ modifier | modifier le code]
Pour la multiplication [ modifier | modifier le code]
Supposons qu'on ait calculé 17 × 35. On remplace 17 par la somme de ses chiffres: 1 + 7 = 8, de même pour 35, remplacé par 3 + 5 = 8. Le résultat de 17 × 35 devrait avoir pour somme de ses chiffres la même que 8 × 8 = 64, soit 6 + 4 = 10, lui-même remplacé par 1 + 0 = 1. La preuve par neuf appliquée au produit 17 × 35 s'applique ainsi: on calcule la somme des chiffres du résultat trouvé.
Jean-François Zygel Une ressource France Inter
A la fois concert et causerie, évocation et explication, Jean-François Zygel nous apprend à jouir et à entendre. Un peu de savoir… Beaucoup de saveur! Abonnez-vous sur la page de l'émission!
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CARACTERISTIQUES - 2 ans (depuis: 01/11/'01) - Adapteurs de montage (2):retirer si nécessaire (voir notice d'installation) - Indicateur de charge 'l'oeil magique' Vert = la batterie est suffisament chargée Noir = la batterie n'est pas suffisament chargée c. Batterie d origine audi q4. à. d à recharger Jaune ou transparant = niveau de l'acide trop bas - Stockage maximum 12 mois:voir date de charge sur pôle négatif
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