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Démonstration: lien entre dérivabilité et continuité - YouTube
Dérivation Et Continuité Pédagogique
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I – Continuité d'une fonction
1) Définition
Dire qu'une fonction f est continue en a signifie qu'elle a une limite en a égale à \( f(a) \) , soit: \( \lim_{x\to a}= f(a) \)
Dire qu'une fonction f est continue sur I signifie qu'elle est continue en tous nombres réels de I. 2) Continuités et limites de suites
\( (u_n) \) est une suite définie par \( u_0 \) et \( u_{n+1}=f(u_n) \) . Si la suite \( (u_n) \) possède une limite finie l et si la fonction f est continue en l, alors \( f(l)=l \) . II – Dérivabilité et continuité
1) Propriétés
La fonction f est définie sur I et a ∈ I. Si la fonction f est dérivable en a, alors elle est continue en a. Dérivation et continuité écologique. Si la fonction f est dérivable sur I, alors elle est continue sur I. 2) Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions polynômes sont continues car dérivables sur \( \mathbb{R} \) ,
La fonction inverse est continue sur \(]-\infty\text{};0[ \) et \(]0\text{};+\infty[ \) ,
La fonction racine carré est continue sur \(]0\text{};+\infty[ \) ,
Toute fonction définie sur I par composition des fonctions précédentes sont continues sur I.
III – Calculs de dérivées
IV- Fonctions continues et résolution d'équations
1) Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
La fonction f est continue sur \( [a\text{};b] \) .
Dérivée seconde Soit f f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I I. Si la fonction dérivée, f ′ f' est elle aussi dérivable, on dit que f f est deux fois dérivable et on appelle dérivée seconde, notée f ′ ′ f'', la dérivée de f ′ f'.